Lipschitz solvability of prescribed Jacobian and divergence for singular measures

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si colloca nell'ambito dell'analisi geometrica e della teoria delle misure, affrontando la questione della risolubilità di equazioni differenziali di primo ordine (divergenza e determinante Jacobiano) quando i dati sono definiti rispetto a una misura di Radon finita $\mu$ singolare rispetto alla misura di Lebesgue ($L^d$).

• Contesto negativo: In precedenti lavori (Alberti, Bate, Marchese), è stato dimostrato che, per misure singolari, operatori differenziali classici come il gradiente, la divergenza e il determinante Jacobiano non sono estendibili (non sono "closable") dallo spazio delle funzioni Lipschitz a $L^p(\mu)$. Esistono successioni di funzioni Lipschitz equi-limitate che convergono uniformemente a zero, ma le cui derivate (o divergenze) rimangono grandi su insiemi di misura $\mu$ positiva.
• L'obiettivo: Questo paper dimostra che, nonostante l'impossibilità di una risoluzione puntuale globale o di stime di tipo $L^\infty \to \text{Lipschitz}$ classiche, è possibile ottenere risultati di risolubilità di tipo Lusin. L'idea è costruire soluzioni esatte su insiemi compatti che catturano quasi tutta la massa della misura $\mu$ (esclusa una parte di misura arbitrariamente piccola), mantenendo un controllo uniforme sulla costante Lipschitz.

2. Metodologia e Strumenti Chiave

La strategia costruttiva si basa su un meccanismo geometrico che sfrutta la struttura della misura singolare. I pilastri metodologici sono:

1. Fascio di Decomponibilità (Decomposability Bundle):
   Viene utilizzato il fascio $V(\mu, x)$, introdotto da Alberti, Csörnyei e Preiss. Per una misura singolare, questo fascio non è pieno ($V(\mu, x) \neq \mathbb{R}^d$) per quasi ogni $x$ rispetto a $\mu$. Questo implica l'esistenza di direzioni "trasversali" al supporto della misura.

2. Invisibilità dai Coni e Insiemi Nulli:
   Si sfruttano direzioni $e$ tali che il fascio di decomponibilità intersechi il cono $C(e, \alpha)$ solo nell'origine. Grazie a un lemma geometrico (Lemma 2.2), si può coprire lo spazio con un numero finito di direzioni fisse $v_1, \dots, v_N$ tali che, per quasi ogni punto, almeno una di queste direzioni sia trasversale al fascio locale.
   Si definiscono poi insiemi "nulli rispetto al cono" ($C(e, \alpha)$-null), su cui le curve Lipschitz con tangente nel cono hanno misura nulla.

3. Funzioni di Larghezza (Width Functions):
   Questo è lo strumento tecnico centrale (Lemma 2.6). Per ogni insieme compatto $E$ nullo rispetto a un cono $C(e, \alpha)$, esiste una funzione liscia $\phi$ con supporto arbitrariamente piccolo, tale che:

   • La derivata direzionale lungo $e$ sia esattamente 1 su $E$.
   • La derivata lungo le direzioni ortogonali sia controllata.
   • Il modulo della funzione e del suo gradiente siano piccoli.
     Questo permette di "generare" una derivata direzionale prescritta su un insieme di massa quasi piena, mantenendo il controllo globale.

4. Lemma Scalare Direzionale:
   Il cuore della dimostrazione è una proposizione (Prop. 3.1) che afferma: data una funzione scalare limitata $\lambda$, esiste una funzione $u \in C^1_c$ tale che $\partial_e u = \lambda$ su un compatto $K$ con $\mu(\Omega \setminus K)$ piccolo, con $\|Du\|$ controllato da $\|\lambda\|_\infty$ e $\|u\|$ arbitrariamente piccolo. La costruzione avviene tramite una serie iterativa di correzioni su insiemi compatti disgiunti.

3. Risultati Principali

I teoremi principali stabiliscono l'esistenza di soluzioni Lipschitz con bounds uniformi dipendenti solo dalla norma sup del dato, valide su insiemi di misura quasi totale.

Teorema 1.1 (Risolubilità di Divergenza)

Sia $\mu \perp L^d$ una misura finita su $\Omega$. Per ogni dato Borelliano $f$ e $\varepsilon, \delta > 0$, esiste un campo vettoriale $V \in C^1_c(\Omega; \mathbb{R}^d)$ tale che:

• Esiste un compatto $K \subset \Omega$ con $\mu(\Omega \setminus K) < \varepsilon$.
• $\text{div } V(x) = f(x)$ per ogni $x \in K$.
• $\text{Lip}(V) \leq (1+\delta)\|f\|_{L^\infty(\Omega, \mu)}$.
• $\|V\|_{C^0} \leq \varepsilon$ (la soluzione può essere resa arbitrariamente piccola in norma sup).

Teorema 1.2 (Risolubilità del Jacobiano)

Sia $\mu \perp L^d$ e $g: \Omega \to \mathbb{R}$ un dato Borelliano. Per ogni $\varepsilon, \delta > 0$, esiste una mappa $\Phi$ con $\Phi - \text{Id} \in C^1_c(\Omega; \mathbb{R}^d)$ tale che:

• Esiste un compatto $K \subset \Omega$ con $\mu(\Omega \setminus K) < \varepsilon$.
• $\det D\Phi(x) = g(x)$ per ogni $x \in K$.
• $\text{Lip}(\Phi - \text{Id}) \leq (1+\delta)\|g-1\|_{L^\infty(\Omega, \mu)}$.
• Se $(1+\delta)\|g-1\| < 1$, allora $\Phi$ è un diffeomorfismo globale.

Corollario 1.3 (Perturbazione di Diffeomorfismi)

Il risultato può essere esteso per perturbare un diffeomorfismo dato $F$ (anziché l'identità), preservando la struttura del Jacobiano prescritto su un insieme di massa quasi piena.

4. Significato e Implicazioni

• Superamento delle limitazioni puntuali: Il lavoro mostra che, sebbene le stime "endpoint" (da $L^\infty$ a Lipschitz) falliscano globalmente per misure singolari, esse possono essere recuperate in senso "Lusin" (quasi ovunque rispetto alla misura singolare). Questo fornisce un sostituto naturale per le stime puntuali in contesti geometrici.
• Connessione con la Congettura delle Catene Piatte (Flat Chain Conjecture):
  Gli autori collegano i loro risultati alla congettura di Ambrosio-Kirchheim sulle correnti metriche. In particolare, la risolubilità della divergenza su insiemi di massa quasi piena è identificata come il meccanismo chiave che permette di provare la congettura per le correnti di dimensione massima ($k=d$) nello spazio euclideo, nonostante il fallimento delle stime puntuali.
• Distinzione rispetto a Dacorogna-Moser:
  A differenza del teorema classico di Dacorogna-Moser (che tratta misure assolutamente continue e fornisce un trasporto esatto $\Phi_\# \mu = g \mu$), qui non si ottiene necessariamente un trasporto diretto della misura $\mu$. Si costruisce invece una deformazione regolare dello spazio ambiente il cui Jacobiano è prescritto su un insieme di massa quasi piena. È una questione di "costruzione di coordinate" piuttosto che di "trasporto di massa".
• Generalità:
  Il meccanismo funziona per qualsiasi misura singolare, non solo per quelle concentrate su insiemi rettificabili. Anche se la geometria è più complessa in assenza di piani tangenti globali, il fascio di decomponibilità e le funzioni di larghezza permettono di ricostruire la struttura trasversale necessaria.

In sintesi, il paper fornisce una soluzione costruttiva e robusta per equazioni di conservazione e deformazione in contesti di misura singolare, aprendo nuove strade per la teoria delle correnti metriche e l'analisi geometrica delle misure.