Lipschitz solvability of prescribed Jacobian and divergence for singular measures

Résumé Technique : Résolvabilité Lipschitzienne de l'Équation de Divergence et du Jacobien Prescrit pour des Mesures Singulières

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la résolution d'équations aux dérivées partielles de premier ordre (divergence et déterminant jacobien) lorsque les données sont définies par rapport à une mesure de Radon finie $\mu$ singulière par rapport à la mesure de Lebesgue ($\mu \perp \mathcal{L}^d$).

• Contexte théorique : Dans [2], il a été démontré que pour des mesures singulières, les opérateurs différentiels classiques (gradient, divergence, déterminant jacobien) ne sont pas closables de l'espace des fonctions Lipschitziennes vers $L^p(\mu)$. Cela signifie qu'il existe des suites de fonctions Lipschitziennes convergentes uniformément vers zéro, dont les dérivées restent grandes sur un ensemble de mesure $\mu$ positive.

• Objectif : Les auteurs montrent que cette même « mécanique géométrique » (l'existence de directions où la mesure est « invisible ») peut être exploitée de manière constructive pour résoudre les équations suivantes avec des solutions Lipschitziennes :

  1. Équation de divergence : $\text{div } V = f$
  2. Équation du Jacobien : $\det D\Phi = g$

  L'objectif est d'obtenir des solutions exactes sur des compacts $K$ tels que $\mu(\Omega \setminus K)$ soit arbitrairement petit, tout en contrôlant la norme Lipschitzienne de la solution par la norme $L^\infty$ de la donnée, et en rendant la solution arbitrairement petite en norme uniforme.

2. Méthodologie et Outils Clés

La preuve repose sur une construction géométrique et analytique fine exploitant la structure de la mesure singulière.

• Le Faisceau de Décomposabilité (Decomposability Bundle) :
  Les auteurs utilisent le faisceau $V(\mu, x)$, un sous-espace vectoriel associé à la mesure $\mu$ en chaque point $x$. Pour une mesure singulière, ce faisceau n'est pas l'espace entier $\mathbb{R}^d$ presque partout. Cela implique l'existence de directions transverses à ce faisceau.

• L'Invisibilité Conique (Cone-nullity) :
  Grâce au lemme 2.2, on peut choisir un nombre fini de directions unitaires $\{v_1, \dots, v_N\}$ telles que, pour presque tout $x$ (par rapport à $\mu$), le cône $C(v_j, \alpha)$ centré sur $v_j$ ne contienne que l'origine dans l'intersection avec le faisceau de décomposabilité.
  Cela permet de réduire le problème global à un problème local où la mesure est concentrée sur des ensembles « nuls » pour ces directions coniques.

• Fonctions de Largeur (Width Functions) :
  C'est l'ingrédient central (Lemme 2.6). Pour un ensemble compact $E$ qui est « nul » pour un cône $C(e, \alpha)$, il existe une fonction lisse $\phi$ telle que :

  • Sa dérivée directionnelle $\partial_e \phi = 1$ sur $E$.
  • Sa norme $C^0$ est arbitrairement petite.
  • Son gradient est uniformément borné (dépendant de $\alpha$).
    Ce lemme permet de « construire » une dérivée directionnelle prescrite sans augmenter excessivement la norme Lipschitzienne globale.

• Lemme Scalaire Directionnel (Proposition 3.1) :
  C'est le cœur de la preuve. Il établit que pour une fonction scalaire bornée $\lambda$, on peut trouver une fonction $u \in C^1_c$ telle que $\partial_e u = \lambda$ sur un ensemble de mesure $\mu$ presque totale, avec une norme Lipschitzienne contrôlée par $(1+\delta)c_\alpha \|\lambda\|_\infty$ et une norme $C^0$ arbitrairement petite. La preuve utilise une construction itérative (série de fonctions) et un raffinement de compacts.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Résolvabilité de Lusin pour la divergence) :
Pour toute mesure singulière $\mu$, toute fonction borélienne bornée $f$, et tout $\varepsilon, \delta > 0$, il existe un champ de vecteurs $V \in C^1_c(\Omega; \mathbb{R}^d)$ et un compact $K$ tels que :

• $\mu(\Omega \setminus K) < \varepsilon$.
• $\text{div } V = f$ sur $K$.
• $\text{Lip}(V) \leq (1+\delta) \|f\|_{L^\infty(\Omega, \mu)}$.
• $\|V\|_{C^0} \leq \varepsilon$ (la perturbation est arbitrairement petite).

Théorème 1.2 (Résolvabilité de Lusin pour le Jacobien) :
Pour toute fonction borélienne $g$, il existe une application $\Phi$ (perturbation de l'identité) telle que :

• $\det D\Phi = g$ sur un compact $K$ de mesure $\mu$ presque totale.
• $\text{Lip}(\Phi - \text{Id}) \leq (1+\delta) \|g - 1\|_{L^\infty(\Omega, \mu)}$.
• Si $(1+\delta)\|g-1\|_\infty < 1$, alors $\Phi$ est un difféomorphisme global.

Corollaire 1.3 (Perturbation de difféomorphismes) :
Les résultats s'étendent à la perturbation d'un difféomorphisme donné $F$ pour prescrire un Jacobien relatif, généralisant ainsi le résultat à des changements de coordonnées globaux.

4. Contributions et Signification

• Contre-exemple aux estimations de type Ornstein :
  Les résultats montrent que, bien que les estimations ponctuelles de type $L^\infty \to \text{Lipschitz}$ échouent pour les équations de premier ordre sur des mesures singulières (comme le montrent les contre-exemples de Preiss, McMullen et Takáč), une version de type Lusin (valable sur des ensembles de mesure presque totale) est possible. Cela offre un substitut naturel aux estimations ponctuelles échouées.

• Lien avec la Conjecture des Chaînes Plates (Flat Chain Conjecture) :
  L'article éclaire la conjecture d'Ambrosio-Kirchheim concernant les courants métriques. En dimension maximale ($k=d$), la résolution de l'équation $d\phi = \omega$ (qui se réduit à une équation de divergence) sur des ensembles de grande mesure est cruciale. Ce travail valide la stratégie de résolution de type Lusin proposée dans [6, 11] pour prouver la conjecture des chaînes plates en dimension supérieure, en montrant que le mécanisme géométrique fonctionne même sans support rectifiable global.

• Distinction avec le théorème de Dacorogna-Moser :
  Contrairement au théorème classique de Dacorogna-Moser qui traite du transport de mesures absolument continues via un difféomorphisme global, ce travail ne garantit pas un transport direct $\Phi_\# \mu = g\mu$. Il construit plutôt une déformation régulière de l'espace ambiant dont le Jacobien est prescrit sur un ensemble de masse $\mu$ arbitrairement grande. C'est une distinction fondamentale entre le transport de mesure et la prescription de Jacobien sur des mesures singulières.

• Généralité :
  Le mécanisme de construction ne dépend pas de la rectifiabilité de la mesure. Même si la rectifiabilité simplifie la géométrie (en fournissant des plans tangents), les auteurs montrent que la structure de décomposabilité suffit à construire des directions transverses pour n'importe quelle mesure singulière.

Conclusion

Cet article établit un pont fondamental entre la géométrie des mesures singulières et l'analyse des équations aux dérivées partielles. Il démontre que la rigidité apparente des opérateurs différentiels sur les mesures singulières peut être contournée par des constructions de type Lusin, ouvrant la voie à de nouvelles approches pour les problèmes de géométrie métrique et de théorie des courants.