On Data-Driven Koopman Representations of Nonlinear Delay Differential Equations

Titolo: Rappresentazioni Koopman basate sui Dati per Equazioni Differenziali a Ritardo Non Lineari

1. Il Problema

Le Equazioni Differenziali a Ritardo (DDE) sono fondamentali per modellare sistemi in ingegneria e scienze (es. sistemi di controllo in rete, regolazione biologica, feedback meccanico ritardato). A differenza delle Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE), le DDE evolvono in uno spazio delle fasi infinito-dimensionale, poiché lo stato del sistema non è un vettore finito, ma una funzione di storia (un segmento di traiettoria passata).

Questa natura infinito-dimensionale rende estremamente difficile:

• La modellazione e l'analisi matematica.
• La previsione e il controllo basati su dati.
• L'applicazione diretta dei metodi di apprendimento automatico, che tipicamente operano su spazi finiti.

Sebbene l'analisi dell'operatore di Koopman (che linearizza la dinamica non lineare agendo sullo spazio delle osservabili) sia ben sviluppata per le ODE e parzialmente per le PDE, la sua estensione alle DDE rimane limitata. Le approcci esistenti spesso si basano su embedding ritardati euristici che comprimono la storia infinita in pochi campioni, ma mancano di garanzie teoriche sugli errori di approssimazione, rendendoli inaffidabili per il controllo rigoroso.

2. Metodologia Proposta

Gli autori propongono un framework Koopman basato sui dati che colma il divario tra la dinamica a ritardo infinito-dimensionale e una rappresentazione lineare finito-dimensionale, fornendo garanzie di errore deterministiche.

La metodologia si articola in quattro fasi principali:

1. Discretizzazione della Storia e Ricostruzione:

   • Lo spazio infinito-dimensionale delle funzioni di storia viene approssimato discretizzando l'intervallo di ritardo $[-\tau_d, 0]$ in $M$ punti.
   • Vengono definiti due operatori:
     • Operatore di Campionamento ($Q$): Mappa una funzione di storia continua in un vettore finito di campioni.
     • Operatore di Ricostruzione ($R$): Ricostruisce una funzione di storia continua a partire dal vettore discreto (tramite interpolazione lineare a tratti).
   • Viene dimostrato che la composizione $R \circ Q$ è una proiezione con un errore di approssimazione limitato dalla risoluzione della griglia.

2. Formulazione dell'Operatore di Koopman Indotto:

   • Si definisce un operatore di Koopman indotto sullo spazio finito-dimensionale dei stati discretizzati.
   • Poiché la mappa di transizione esatta è sconosciuta, si utilizza un approccio data-driven.

3. Apprendimento tramite kEDMD (Kernel-based Extended Dynamic Mode Decomposition):

   • Viene utilizzato un kernel basato su funzioni radiali di base (RBF) di Wendland per costruire un Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS).
   • Il metodo risolve problemi di regressione affine locale per stimare la dinamica non lineare e costruisce una matrice di Koopman approssimata ($A$) che evolve le coordinate sollevate (lifted) dello stato.
   • Il modello risultante è un sistema lineare discreto: $\Psi(z_{k+1}) \approx A \Psi(z_k)$.

4. Stima degli Errori e Ricostruzione dello Stato:

   • Viene sviluppato un metodo basato sui kernel per recuperare lo stato discretizzato dalle coordinate Koopman sollevate.
   • Vengono derivati limiti di errore deterministici che decompongono l'errore totale in tre componenti:
     1. Errore di discretizzazione della storia: Dipende dalla risoluzione spaziale ($M$).
     2. Errore di interpolazione del kernel: Dipende dalla densità dei dati di addestramento (distanza di riempimento $h_X$).
     3. Errore di regressione data-driven: Dipende dal raggio di vicinato locale ($\rho$) usato per la regressione.

3. Contributi Chiave

I principali contributi teorici e pratici del lavoro sono:

• Realizzazione Rigorosa di Koopman per DDE: Stabilisce un ponte teorico tra la dinamica a ritardo infinito-dimensionale e le rappresentazioni Koopman finito-dimensionali tramite un framework di campionamento-ricostruzione.
• Surrogato Lineare Data-Driven: Costruisce un modello surrogato lineare usando kEDMD con kernel RBF di Wendland, approssimando rigorosamente l'operatore di Koopman sullo spazio di Banach delle funzioni di storia.
• Garanzie di Errore Deterministiche: Deriva limiti di errore espliciti e interpretabili per il predittore appreso, scomponendo l'errore nelle sue componenti fondamentali (discretizzazione, interpolazione, regressione).
• Ricostruzione dello Stato con Garanzie: Sviluppa un meccanismo per recuperare lo stato fisico dal modello sollevato, fornendo limiti di errore sulla previsione dello stato, essenziale per compiti di controllo.

4. Risultati Numerici

Gli autori hanno validato il framework su due sistemi non lineari:

1. Una DDE scalare con non linearità di tipo Hill.
2. Un modello di interazione tumore-immunità (sistema planare).

Risultati osservati:

• Convergenza: L'errore di previsione media ($\mu_{z_k}$) diminuisce all'aumentare della risoluzione della discretizzazione ($M$) e della densità dei dati di addestramento ($p$).
• Accuratezza: Il modello è in grado di ricostruire con alta precisione sia lo stato discretizzato che il valore corrente della funzione di stato rispetto alle traiettorie reali.
• Robustezza: I risultati confermano che la scelta dei parametri (come il raggio $\rho$ e la distanza di riempimento $h_X$) influenza l'errore in modo coerente con le previsioni teoriche.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro è significativo perché:

• Supera il compromesso fidelità/complessità: Offre un modo per trattare sistemi a ritardo (intrinsecamente complessi) con modelli lineari gestibili, senza sacrificare la rigore teorico.
• Abilita il Controllo: Fornendo limiti di errore noti, il framework rende possibile l'applicazione di tecniche di controllo basate su modelli (model-based control) a sistemi a ritardo, un'area precedentemente ostacolata dalla mancanza di garanzie di stabilità e accuratezza.
• Fondamento Teorico: Stabilisce un nuovo standard per l'analisi data-driven delle DDE, spostando il campo da approcci euristici a metodologie con garanzie matematiche rigorose.

In sintesi, il paper fornisce una base solida e teoricamente fondata per l'apprendimento, la previsione e il controllo di sistemi non lineari con ritardi, aprendo la strada a applicazioni in sistemi di rete e ingegneria biomedica.