On Data-Driven Koopman Representations of Nonlinear Delay Differential Equations

Titel: Data-gedreven Koopman-representaties van niet-lineaire vertraging-differentiaalvergelijkingen (DDE's)

Auteurs: Santosh Mohan Rajkumar, Dibyasri Barman, Kumar Vikram Singh, en Debdipta Goswami.

---

1. Probleemstelling

Vertraging-differentiaalvergelijkingen (DDE's) komen veel voor in engineering en wetenschap (bijv. netwerkbesturingssystemen, biologische regulatie). In tegenstelling tot gewone differentiaalvergelijkingen (ODE's), evolueren DDE's in een oneindig-dimensionale fase-ruimte die bestaat uit geschiedenissegmenten (functies over een tijdsinterval $[-\tau_d, 0]$) in plaats van eindig-dimensionale vectoren.

Bestaande data-gedreven methoden voor DDE's hebben te kampen met fundamentele beperkingen:

• Neurale netwerken: Lijden onder hoge rekentijd en instabiliteit tijdens training door backpropagation door vertraagde trajecten.
• Hybride fysica-ML-modellen: Introduceer bias door basis-truncatie.
• Bestaande Koopman-methoden: Bestaande uitbreidingen naar DDE's gebruiken vaak heuristische vertraging-embeddings zonder expliciete kwantificering van de benaderingsfout, wat leidt tot gebrek aan garanties voor betrouwbare voorspelling en besturing.

Het centrale probleem is het vinden van een eindig-dimensionale, lineaire representatie van deze oneindig-dimensionale dynamiek met expliciete en interpreteerbare foutgaranties.

2. Methodologie

De auteurs stellen een rigoureus raamwerk voor dat de oneindig-dimensionale DDE-dynamiek koppelt aan een eindig-dimensionale Koopman-benadering via drie hoofdstappen:

A. Discretisatie en Reconstructie

Om de oneindig-dimensionale geschiedenisfunctie $x_t$ te benaderen, wordt een discretisatie-operator $Q$ en een reconstructie-operator $R$ geïntroduceerd:

• Discretisatie ($Q$): De geschiedenisfunctie wordt gesampled op een uniforme grid van $M$ punten, wat een eindig-dimensionale vector $z \in \mathbb{R}^{nM}$ oplevert.
• Reconstructie ($R$): Een stuksgewijs lineaire interpolatie (piecewise affine) wordt gebruikt om de continue geschiedenisfunctie te reconstrueren uit de discrete vector.
• Projectie: De samenstelling $P = R \circ Q$ fungeert als een projectie op de ruimte van geschiedenisfuncties. De fout tussen de echte functie en de geprojecteerde functie wordt begrensd door de grid-resolutie $\delta(M)$.

B. Data-gedreven Lineaire Surrogaat (kEDMD)

De auteurs gebruiken Kernel-based Extended Dynamic Mode Decomposition (kEDMD) om de niet-lineaire dynamica te lineariseren:

• Ze definiëren een Koopman-operator die werkt op observabelen (functies) van de geschiedenisruimte.
• Door gebruik te maken van Wendland Radiale Basisfunctie (RBF) kernels, wordt een Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) gedefinieerd.
• De dynamica wordt lokaal benaderd via affiene regressie op datasets van "snapshot"-paren $(z_k, z_{k+1})$.
• Dit resulteert in een lineair surrogaatmodel in de verheven (lifted) ruimte: $\Psi(z_{k+1}) \approx A \Psi(z_k)$, waarbij $A$ een data-gedreven matrix is.

C. Foutanalyse en Garantie

Het kernpunt van de paper is de afleiding van deterministische foutgrenzen voor de voorspeller. De totale fout wordt ontbonden in drie componenten:

1. Discretisatiefout: Afhankelijk van de resolutie van de geschiedenis ($M$).
2. Kern-interpolatiefout: Afhankelijk van de dichtheid van de steekproeven in de ruimte ($h_X$).
3. Regressiefout: Afhankelijk van de lokale regressie-parameters en de gladheid van de dynamica.

Daarnaast wordt een methode ontwikkeld om de discrete staat $z$ te reconstrueren uit de verheven Koopman-coördinaten met bewezen foutgrenzen.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Rigoureuze Koppeling: Een theoretisch onderbouwde brug tussen oneindig-dimensionale DDE-dynamiek en eindig-dimensionale Koopman-representaties via een steekproef-reconstructie raamwerk.
2. Data-gedreven Lineair Model: Constructie van een lineair surrogaatmodel met kEDMD en Wendland RBF-kernels dat de Koopman-operator op de Banach-ruimte van geschiedenisfuncties benadert.
3. Deterministische Foutgaranties: Afleiding van expliciete foutgrenzen die de totale benaderingsfout ontleden in bijdragen van discretisatie, kerninterpolatie en data-gedreven regressie. Dit biedt inzicht in de nauwkeurigheid.
4. Staatsherstel met Garantie: Een kern-gebaseerd mechanisme om de gediscretiseerde staat te herstellen uit de verheven coördinaten, met bewezen grenzen voor de voorspelfout, essentieel voor simulatie en besturing.

4. Numerieke Resultaten

De methode werd getest op twee systemen:

1. Een scalaire DDE met Hill-type niet-lineariteit.
2. Een tumor-immuun interactiemodel (2D systeem).

Resultaten:

• Convergentie: De voorspellingfout ($\mu_{z_k}$) nam af naarmate de discretisatie-resolutie ($M$) toenam en de data-dichtheid ($p$, aantal steekproeven) groeide.
• Invloed van parameters: Een kleinere regressieradius ($\rho$) en een groter aantal steekproeven leidden tot lagere fouten, mits de numerieke conditie behouden bleef.
• Reconstructie: De methode slaagde erin om zowel de gediscretiseerde staat als de huidige waarden van de toestandsfunctie nauwkeurig te reconstrueren uit de verheven coördinaten. De voorspelde trajecten vertoonden een sterke overeenkomst met de echte dynamica.

5. Betekenis en Conclusie

Dit werk vult een cruciale theoretische lacune op door Koopman-methoden voor DDE's te voorzien van wiskundige garanties.

• Betrouwbaarheid: In tegenstelling tot veel "black-box" ML-methoden voor DDE's, biedt dit raamwerk expliciete foutgrenzen, wat essentieel is voor veiligheidskritieke toepassingen.
• Toepasbaarheid: Het biedt een fundamentele basis voor modelgebaseerde besturing en analyse van complexe systemen met vertragingen, zoals netwerkbesturing en biologische systemen.
• Toekomst: De auteurs wijzen op toekomstige richtingen zoals synthesen van gesloten-lus besturing (closed-loop control) en uitbreiding naar hoog-dimensionale netwerksystemen.

Samenvattend biedt dit artikel een principiële en controle-relevante foundation voor het leren, voorspellen en analyseren van niet-lineaire vertraagde systemen, waarbij de balans wordt gevonden tussen de complexiteit van oneindige dimensies en de berekenbaarheid van eindige modellen.