Asset allocation using a Markov process of clustered efficient frontier coefficients states

1. Il Problema

La teoria moderna del portafoglio (MPT) di Markowitz si basa sull'assunzione di stazionarietà del mercato, ovvero che i rendimenti attesi e le matrici di covarianza rimangano costanti nel tempo. In realtà, i mercati finanziari sono non stazionari: i regimi di mercato (es. fasi di bull/bear market, volatilità alta/bassa) cambiano dinamicamente.
I modelli esistenti tentano di mitigare questo problema in due modi principali, entrambi con limitazioni:

• Modelli di stima avanzata (es. Black-Litterman, shrinkage di Ledoit-Wolf): Migliorano la stima dei parametri ma non risolvono il problema fondamentale della non stazionarietà e spesso richiedono input soggettivi o non riescono a stimare correttamente il vettore dei rendimenti, il parametro più sensibile.
• Modelli di Regime Nascosto (Hidden Markov Models - HMM): Assumono che lo stato del mercato sia una variabile latente. Tuttavia, gli HMM sono spesso sensibili a piccole errori di classificazione, difficili da interpretare e tendono a performare male nei test "out-of-sample" rispetto ad approcci più semplici.

L'obiettivo dell'articolo è sviluppare un modello di allocazione degli asset che gestisca la non stazionarietà in modo interpretabile, utilizzando stati osservabili definiti da caratteristiche strutturali del mercato piuttosto che da rendimenti e volatilità grezzi.

2. Metodologia Proposta: Il Modello "Markov Markowitz"

Gli autori propongono un modello ibrido che combina la Teoria del Portafoglio Moderno con un processo di Markov su stati osservabili, definiti tramite clustering di coefficienti della Frontiera Efficiente (EF).

A. Coefficienti della Frontiera Efficiente (EF)

Invece di utilizzare direttamente rendimenti e covarianze, il modello decompone la Frontiera Efficiente nella sua forma funzionale (una parabola radice quadrata di secondo ordine) descritta da tre coefficienti interpretabili (derivati da Merton, 1972):

1. $r_{mvp}$: Il rendimento del portafoglio a varianza minima (MVP).
2. $\sigma_{mvp}$: La deviazione standard del MVP (rappresenta il rischio di base).
3. $u$: Il tasso di curvatura della funzione di utilità della EF (indica il trade-off rischio-rendimento; una curvatura più alta implica migliori opportunità per gli investitori propensi al rischio).

Questi coefficienti riducono la dimensionalità del vettore dei rendimenti e della matrice di covarianza in tre parametri significativi.

B. Clustering Temporale degli Stati

Per definire gli stati di mercato, il modello utilizza un approccio non supervisionato:

• Dati: I coefficienti EF calcolati mensilmente (basati su dati giornalieri).
• Algoritmo: Clustering Gerarchico Agglomerativo.
• Metrica di Distanza: Viene utilizzata la Dynamic Time Warping (DTW) applicata alla matrice di correlazione dei coefficienti. La DTW è cruciale perché permette di confrontare serie temporali con allineamenti temporali flessibili, superando i limiti della distanza euclidea standard.
• Risultato: I mesi vengono raggruppati in $K$ stati distinti (regimi) basati sulla similarità della struttura della frontiera efficiente.

C. Processo di Markov e Ottimizzazione del Portafoglio

Una volta definiti gli stati, il modello segue questi passaggi:

1. Calcolo dei Portafogli di Tangenza per Stato: Per ogni stato $s$, viene calcolato un portafoglio di tangenza (ottimale per il rapporto di Sharpe) utilizzando esclusivamente i dati di rendimento e covarianza appartenenti a quello specifico stato. Questo evita l'uso di dati "inquinati" da regimi non pertinenti.
2. Matrice di Transizione: Viene costruita una matrice di transizione di Markov che stima la probabilità di passare dallo stato corrente a qualsiasi altro stato nel mese successivo.
3. Assegnazione dei Pesi Finale: Il portafoglio finale non è un singolo portafoglio di tangenza, ma la media pesata dei portafogli di tangenza di tutti gli stati. I pesi sono determinati dalla probabilità di transizione dallo stato corrente verso ogni possibile stato futuro.
   • Formula: $w^* = P_{s_t} \cdot W_s$, dove $W_s$ sono i pesi del portafoglio nello stato $s$ e $P_{s_t}$ è la distribuzione di probabilità di transizione.

D. Aggiornamento Online

Il modello opera in una modalità "online expanding": ogni mese, i nuovi dati vengono aggiunti al set di addestramento, il clustering viene ricalcolato, e la matrice di transizione e i pesi vengono aggiornati.

3. Contributi Chiave

1. Nuova Feature Set per il Regime Switching: È il primo studio che utilizza i coefficienti della Frontiera Efficiente (invece di rendimenti/volatilità) per definire gli stati di mercato in un processo di Markov.
2. Interpretabilità: A differenza degli HMM (stati nascosti), questo modello utilizza stati osservabili e definiti da un clustering basato su metriche di distanza chiare. Gli utenti possono visualizzare e comprendere la logica dietro la formazione degli stati.
3. Gestione della Non Stazionarietà: Il modello assume che la stazionarietà valga all'interno di ogni regime clusterizzato, permettendo una stima più robusta dei parametri di MPT per ciascun regime.
4. Approccio Ibrido: Combina l'ottimizzazione mean-variance classica con la dinamica stocastica dei regimi di mercato in un framework unificato.

4. Risultati Empirici

Gli autori hanno testato il modello su tre universi di asset diversi:

1. GVMC: 6 fondi mutualistici (Growth/Value, Large/Mid/Small Cap).
2. Settori S&P: 9 settori industriali.
3. Mercati Sviluppati: 5 indici globali (USA, Cina, Germania, Francia, Canada).

Performance:

• Il modello proposto (con 3-5 cluster) ha superato significativamente tutti i benchmark (Portafoglio di Tangenza mensile, Portafoglio a pesi uguali, S&P 500) in termini di Rapporto di Sharpe e Rendimento Annualizzato.
• Resilienza alle Crisi: Il modello ha mostrato una migliore gestione dei drawdown durante eventi di shock (Dot-com 2001, Crisi 2008, Pandemia 2020), specialmente nell'universo dei settori S&P.
• Robustezza: I risultati sono rimasti validi anche variando il numero di cluster (3, 4, 5) e cambiando la data di inizio del test (2000 vs 2008).
• Analisi Statistica: Le regressioni alfa hanno mostrato che l'outperformance è statisticamente significativa (p-value < 0.05) per gli universi GVMC e S&P.

Limitazioni Osservate:

• Quando tutti gli universi sono stati combinati in un unico set di 21 asset, le performance sono peggiorate a causa del problema "dimensionalità > osservazioni" nella stima della matrice di covarianza mensile necessaria per i coefficienti EF. Questo suggerisce che il modello funziona meglio quando il numero di asset è inferiore al numero di giorni di trading nel mese.

5. Significato e Conclusioni

Questo lavoro offre un'alternativa pratica e interpretabile ai complessi modelli HMM per l'allocazione degli asset. Dimostrando che la decomposizione della Frontiera Efficiente in coefficienti chiave permette di catturare efficacemente i regimi di mercato, il modello "Markov Markowitz" offre:

• Maggiore trasparenza: Gli investitori possono vedere quali stati di mercato (es. "Bearish", "Bullish a bassa volatilità") guidano le decisioni di allocazione.
• Adattabilità: La capacità di adattare i pesi del portafoglio in base alla probabilità di transizione tra regimi, piuttosto che reagire solo ai dati storici grezzi.
• Insight di Mercato: L'analisi degli stati ha rivelato che esistono spesso più stati "Bullish" distinti, e che uno di questi ha una probabilità significativamente più alta di transizione verso uno stato "Bearish" rispetto agli altri, offrendo segnali predittivi utili.

In sintesi, il paper propone un framework robusto che supera i limiti della stazionarietà nella MPT tradizionale, fornendo risultati empirici superiori e una comprensione più profonda della dinamica dei regimi di mercato.