Asset allocation using a Markov process of clustered efficient frontier coefficients states

Probleemstelling

Het artikel adresseert een fundamentele beperking van de traditionele Modern Portfolio Theory (MPT) van Harry Markowitz: de aanname dat markten stationair zijn. In de praktijk zijn verwachte rendementen en covarianties niet-stationair en kunnen ze sterk afwijken van historische data, wat leidt tot aanzienlijke schattingsfouten en een gebrek aan robuustheid in portfoliobouw.

Bestaande oplossingen zoals het Black-Litterman-model of covariance shrinkage-methoden verbeteren weliswaar de schatting van parameters, maar hebben nog steeds beperkingen:

• Black-Litterman vereist externe inputs van beleggers over marktopvattingen.
• Verbeterde covariantiemodellen lossen het probleem van onnauwkeurige rendementsschattingen niet op.
• Bestaande regime-switching modellen, vaak gebaseerd op Hidden Markov Models (HMM), gebruiken verborgen toestanden die moeilijk interpreteerbaar zijn en gevoelig zijn voor kleine classificatiefouten, wat vaak leidt tot slechte prestaties buiten de steekproef (out-of-sample).

De auteurs stellen dat er behoefte is aan een model dat markttoregimes expliciet definieert op basis van de onderliggende interacties tussen activa, zonder afhankelijk te zijn van verborgen variabelen of externe inputs.

Methodologie

Het voorgestelde model, het "Markov Markowitz"-model, combineert Modern Portfolio Theory met een Markov-proces over zichtbare markttoregimes. De methode verloopt in vijf hoofdstappen:

1. Definitie van Markttoregimes via EF-coëfficiënten:
   In plaats van regimes te definiëren op basis van rendement en volatiliteit, gebruiken de auteurs de functionele vorm van de Efficiënte Frontier (EF). Volgens Merton (1972) kan de EF worden uitgedrukt als een vierkantswortel-tweede-orde polynoom met drie interpreteerbare coëfficiënten:

   • $r_{mvp}$: Het rendement van het Minimum Variance Portfolio (MVP).
   • $\sigma_{mvp}$: De standaardafwijking van het MVP.
   • $u$: De krommingsgraad (curvature) van de EF, die de trade-off tussen risico en rendement bepaalt.
     Deze drie coëfficiënten vormen de feature-set voor de clustering.

2. Temporele Clustering (Toestandsbepaling):
   De auteurs gebruiken hiërarchische clustering (agglomeratief) op de maandelijkse EF-coëfficiënten. Om de tijdsreeks-karakteristieken van de data te behouden, wordt Dynamic Time Warping (DTW) toegepast in plaats van Euclidische afstand.

   • Eerst wordt de correlatiematrix van de EF-coëfficiënten omgezet in een geldige afstandsmatrix.
   • Vervolgens wordt de DTW-afstandsberekening toegepast op deze matrix om de gelijkenis tussen tijdsintervallen (maanden) te meten.
   • Hierdoor ontstaan "zichtbare" markttoregimes (clusters) die historisch vergelijkbare marktomstandigheden vertegenwoordigen.

3. Markov-proces:
   Op basis van de gesorteerde tijdsreeks van clusters wordt een overgangsmatrix ($P$) berekend. Deze matrix geeft de waarschijnlijkheid aan om van de huidige staat naar een andere staat te gaan in de volgende periode. Dit vormt een zichtbaar Markov-proces (in tegenstelling tot verborgen toestanden bij HMM).

4. Portfoliobouw per Staat:
   Voor elke geclusterde staat wordt een apart Tangency Portfolio berekend. Cruciaal hierbij is dat dit portfolio uitsluitend wordt geoptimaliseerd op basis van de rendement- en covariantiedata binnen die specifieke staat. Dit elimineert het probleem van "verouderde" data die niet meer relevant is voor het huidige regime.

5. Aggregatie en Online Updating:
   Het uiteindelijke portefeuillegewicht is de verwachte waarde van de gewichten van alle staten, gewogen naar de overgangswaarschijnlijkheden vanuit de huidige staat:
   $$\mathbf{w}^* = \mathbf{P}_{s_t} \cdot \mathbf{W}$$
   Waarbij $\mathbf{W}$ de matrix is van tangency-gewichten per staat. Het model werkt in een online, expansieve modus: elke maand worden nieuwe data toegevoegd aan de trainingsset, worden de clusters en de Markov-matrix herrekend, en wordt het portfolio hergewogen.

Kernbijdragen

1. Nieuwe Feature-set voor Regime-Switching: Voor het eerst worden interpreteerbare EF-coëfficiënten ($r_{mvp}, \sigma_{mvp}, u$) gebruikt om markttoregimes te definiëren in plaats van traditionele rendement/volatiliteit-metrics. Dit biedt meer informatie over de interacties tussen activa.
2. Interpreteerbaarheid: Het model gebruikt zichtbare toestanden (via clustering) in plaats van verborgen toestanden (zoals bij HMM). Dit maakt het model transparanter; beleggers kunnen zien welke marktomstandigheden tot welke cluster leiden en hoe de overgangen plaatsvinden.
3. Regime-specifieke Optimalisatie: In plaats van een enkel portfolio te berekenen met een lange lookback-periode, berekent het model specifieke tangency-portfolios voor elk regime en combineert deze probabilistisch. Dit vermindert de gevoeligheid voor schattingsfouten door niet-relevante data uit te sluiten.

Resultaten

Het model werd getest op drie verschillende asset-universa met data van 2000 tot 2022 (en 2008-2022 voor sectoren):

1. GVMC: Groei/Waarde en Market Cap mutual funds.
2. Sectors: De 9 sectoren van de S&P 500.
3. Developed Markets: Indices van ontwikkelde markten (VS, China, Duitsland, Frankrijk, Canada).

Prestaties:

• Het Markov Markowitz-model (met 3, 4 of 5 clusters) presteerde significant beter dan drie benchmarks: een maandelijkse Tangency Portfolio, een gelijkgewogen portfolio en de S&P 500.
• Sharpe Ratio: Het model behaalde een hogere Sharpe ratio dan alle benchmarks in alle universa. Bijvoorbeeld, voor het GVMC-universum (2000-2022) had het model met 3 clusters een Sharpe ratio van 0,66 tegenover 0,43 voor de standaard Tangency Portfolio.
• Maximale Drawdown (MDD): Het model vertoonde over het algemeen lagere drawdowns tijdens marktschokken (Dot-com crash, 2008 recessie, Covid-19 crash), hoewel dit per universum verschilde.
• Statistische Significantie: Alpha-regressies toonden aan dat de outperformance statistisch significant was (p-waarde < 0,05) voor de GVMC en Sectors universa ten opzichte van de benchmarks.
• Sensitiviteit: Het model is niet extreem gevoelig voor het exacte aantal clusters (3, 4 of 5), hoewel 4 clusters vaak het beste paste bij de dendrogram-analyse.

Beperkingen:

• Bij het combineren van alle universa in één groot portfolio (21 activa) verslechterde de prestatie. Dit wordt toegeschreven aan het "curse of dimensionality" probleem bij het schatten van de covariantiematrix voor de EF-coëfficiënten (weinig datapunten per maand ten opzichte van het aantal activa).

Significantie

Dit onderzoek biedt een robuust alternatief voor traditionele MPT en HMM-gebaseerde strategieën. De belangrijkste implicaties zijn:

• Interpretatiekracht: Beleggers kunnen de onderliggende logica van het model volgen (welke marktomstandigheden leiden tot welke toestand), wat vertrouwen en transparantie vergroot.
• Robuustheid: Door regimes te definiëren via de geometrie van de Efficiënte Frontier en deze te koppelen aan een Markov-proces, kan het model beter omgaan met niet-stationariteit zonder externe inputs.
• Praktische toepasbaarheid: Het model is succesvol getest op verschillende assetklassen en bewijst dat het gebruik van EF-coëfficiënten als feature-set een effectieve manier is om marktregimes te detecteren en daarop te anticiperen.

De auteurs concluderen dat hun aanpak de stationariteitsaanname van MPT effectief verzacht en een superieure risicogewijzigde return biedt, met name in volatiele marktomstandigheden.