Asset allocation using a Markov process of clustered efficient frontier coefficients states

논문 요약: 효율적 프론티어 계수의 클러스터링된 상태로 정의된 마르코프 과정을 활용한 자산 배분

1. 문제 제기 (Problem Statement)

• 정적성 (Stationarity) 가정의 한계: 현대 포트폴리오 이론 (MPT) 은 시장이 정적 (stationary) 이라고 가정하지만, 실제로는 미래의 기대 수익률과 공분산이 과거 데이터와 크게 달라질 수 있습니다. 이로 인해 마코비치 모델은 추정 오차가 크고 견고성이 떨어집니다.
• 기존 regime-switching 모델의 한계:
  • 블랙 - 리터먼 (Black-Litterman) 모델: 투자자의 시장 견해 (prior) 를 입력해야 하는 주관적 요소가 필요하며, 사용이 복잡합니다.
  • 공분산 행렬 추정 개선 모델: 수익률 벡터 (return vector) 의 추정을 개선하지 못합니다.
  • 은닉 마르코프 모델 (HMM): 상태가 관측 불가능 (hidden) 하여 해석이 어렵고, 작은 분류 오류에 민감하며, 아웃 - 오브 - 샘플 (out-of-sample) 성능이 종종 예측 모델보다 낮습니다.
• 핵심 문제: 시장의 비정적 (non-stationary) 성질을 완화하면서도 해석 가능하고, 시장 상태 (regime) 를 명확히 정의하여 포트폴리오 최적화에 활용할 수 있는 새로운 접근법이 필요합니다.

2. 방법론 (Methodology)

저자들은 효율적 프론티어 (Efficient Frontier, EF) 의 계수를 사용하여 시장 상태를 정의하고, 이를 기반으로 마르코프 과정을 적용한 새로운 자산 배분 모델 (Markov Markowitz Model) 을 제안합니다.

A. 핵심 특징: 효율적 프론티어 (EF) 계수

• Merton (1972) 의 공식을 기반으로 EF 를 3 개의 해석 가능한 계수로 분해합니다. 이는 수익률 벡터와 공분산 행렬의 차원을 축소합니다.
  1. $r_{mvp}$: 최소 분산 포트폴리오 (MVP) 의 기대 수익률.
  2. $\sigma_{mvp}$: MVP 의 표준편차 (시장의 변동성).
  3. $u$: EF 의 곡률 (curvature) 속도. 위험과 수익의 트레이드오프 효율성을 나타냄.
• 이 3 개의 계수는 매월 계산되며, 시장의 구조적 변화를 포착하는 특징 (feature) 으로 사용됩니다.

B. 모델 구축 단계

1. 시장 상태 정의 (Temporal Clustering):
   • 과거부터 현재까지의 월별 EF 계수 데이터를 계층적 클러스터링 (Hierarchical Clustering) 을 수행합니다.
   • 시계열 데이터의 특성을 반영하기 위해 유클리드 거리 대신 동적 시간 왜곡 (DTW, Dynamic Time Warping) 거리를 사용하여 상관관계 행렬을 거리 행렬로 변환 후 클러스터링합니다.
   • 이를 통해 관측 가능한 (observable) 시장 상태 (예: 강세장, 약세장 등) 를 정의합니다.
2. 마르코프 과정 정의:
   • 정의된 상태 간의 전이 확률을 계산하여 전이 행렬 (Transition Matrix) 을 구성합니다. 이는 현재 상태에서 다음 달로 이동할 확률을 나타냅니다.
3. 상태별 탠시 포트폴리오 (Tangency Portfolio) 계산:
   • 각 상태 (클러스터) 에 할당된 데이터만 사용하여 해당 상태 내에서의 최적 탠시 포트폴리오 가중치를 계산합니다. (전체 데이터를 사용하는 기존 MPT 와 차별점)
   • 롱 - 숏 (Long-short) 및 롱 - 온리 (Long-only) 중 해당 상태 데이터로 샤프 비율이 높은 것을 선택합니다.
4. 최적 가중치 산출 (Expectation):
   • 현재 상태에서 각 미래 상태로 전이할 확률을 가중치로 하여, 각 상태별 포트폴리오 가중치의 기댓값을 계산합니다.
   • 공식: $w^* = P_{s_t} \cdot W$ (여기서 $P$는 전이 확률, $W$는 상태별 포트폴리오 가중치 행렬).
5. 온라인 업데이트 (Online Updating):
   • 매월 새로운 데이터를 학습 세트에 추가하며 (Expanding window), 클러스터링과 마르코프 모델을 재계산하여 실시간으로 포트폴리오를 갱신합니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 새로운 특징 집합 (Feature Set) 의 적용: 기존 regime-shifting 연구에서 사용되지 않았던 해석 가능한 EF 계수 ($r_{mvp}, \sigma_{mvp}, u$) 를 사용하여 시장 상태를 정의했습니다.
2. 해석 가능한 마르코프 모델: 은닉 상태 (Hidden State) 를 사용하는 HMM 대신, 관측 가능한 클러스터 상태를 기반으로 한 마르코프 모델을 제안하여 모델의 투명성과 해석력을 높였습니다.
3. 상태 기반 포트폴리오 최적화: 각 상태 내에서만 데이터를 사용하여 포트폴리오를 구성하고, 전이 확률로 이를 통합하는 새로운 최적화 기법을 제시했습니다.

4. 실험 결과 (Empirical Results)

• 데이터셋: 3 가지 자산 유니버스 (GVMC: 성장/가치/시가총액, S&P 섹터 9 개, 개발도상국 지수 5 개) 를 사용하여 2000 년2022 년 (또는 2008 년2022 년) 기간 동안 백테스팅을 수행했습니다.
• 성능 비교: 제안된 모델은 다음과 같은 벤치마크 대비 우수한 성과를 보였습니다.
  • 벤치마크: 월별 탠시 포트폴리오, 등가중치 포트폴리오, S&P 500.
  • 성과: 모든 유니버스에서 제안된 모델이 더 높은 샤프 비율 (Sharpe Ratio) 과 연간 수익률 대비 최대 낙폭 (MDD) 대비 높은 수익을 기록했습니다.
  • 통계적 유의성: GVMC 와 섹터 유니버스에서 제네슨 알파 (Jensen's Alpha) 회귀 분석 결과, 벤치마크 대비 초과수익이 통계적으로 유의미했습니다 (p-value < 0.05).
• 클러스터 수 민감도: 3 개, 4 개, 5 개의 클러스터 수를 실험한 결과, 클러스터 수 선택에 따라 성능이 크게 달라지지 않았으며 (Robustness), 4 개 클러스터가 섹터 데이터에서 가장 좋았습니다.
• 시장 충격 대응: 2001 년 닷컴 버블, 2008 년 금융위기, 2020 년 코로나 충격 기간 동안 벤치마크보다 낙폭이 적거나 동등한 수준을 유지하며 견고성을 입증했습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

• 해석 가능성 (Interpretability): 은닉 상태가 아닌 관측 가능한 상태를 사용함으로써, 어떤 시장 조건 (예: 고변동성 약세장, 저수익 강세장 등) 에서 어떤 자산 배분이 이루어지는지 명확히 파악할 수 있습니다.
• 시장 통찰:
  • 각 유니버스에서 여러 개의 강세장 상태가 존재하며, 그중 하나가 약세장으로 전이될 확률이 다른 강세장 상태보다 훨씬 높다는 것을 발견했습니다.
  • 약세장 상태는 다른 상태로 전이되기보다 재발생 (recur) 할 확률이 높다는 것을 확인했습니다 (개발도상국 지수 제외).
• 한계 및 향후 연구:
  • 개발도상국 데이터의 총수익 (Total Return) 데이터 부재로 인해 해당 영역에서의 성과가 제한적이었습니다.
  • 자산 수가 많아질 경우 (예: 모든 유니버스 통합), 월별 공분산 행렬 추정의 차원 문제 (Degrees of Freedom) 로 인해 성능이 저하될 수 있음을 확인했습니다.
  • 향후 상품 (Commodities), 외환 (FX), 채권 등으로 적용 범위를 확대하고, 인트라데이 데이터를 활용한 고빈도 상태 정의 등을 연구할 예정입니다.

결론적으로, 이 논문은 MPT 의 정적성 가정을 완화하기 위해 EF 계수를 활용한 클러스터링과 마르코프 과정을 결합한 혁신적인 자산 배분 모델을 제시하며, 기존 모델보다 우수한 위험 조정 수익률과 높은 해석 가능성을 입증했습니다.