Efficient estimation of relative risk, odds ratio and their logarithms for rare events

Titolo: Stima efficiente del rischio relativo, del rapporto di probabilità e dei loro logaritmi per eventi rari

Autore: Luis Mendo (Universidad Politécnica de Madrid)

1. Il Problema

Il lavoro affronta la sfida statistica di stimare parametri di associazione tra due popolazioni con distribuzioni Bernoulliane, caratterizzate dalle probabilità di successo $p_1$ e $p_2$. I parametri di interesse sono:

• Rischio Relativo (RR): $p_1/p_2$
• Rapporto di Probabilità (Odds Ratio - OR): $p_1(1-p_2) / [p_2(1-p_1)]$
• Le loro versioni logaritmiche: Log-Rischio Relativo (LRR) e Log-Rapporto di Probabilità (LOR).

L'obiettivo è garantire un'accuratezza di stima predefinita (definita in termini di Errore Quadratico Medio Relativo per RR/OR e MSE per le versioni logaritmiche) utilizzando un approccio di campionamento sequenziale. Un vincolo specifico è che i campioni devono essere prelevati in coppie (un campione da ciascuna popolazione per ogni iterazione), una situazione comune in epidemiologia e scienze sociali. La difficoltà risiede nel mantenere un'alta efficienza (vicina al limite di Cramér-Rao) quando gli eventi sono rari ($p_1, p_2$ piccoli), un regime in cui i metodi tradizionali spesso falliscono o richiedono dimensioni campionarie eccessive.

2. Metodologia

L'autore propone una procedura di stima sequenziale basata su due livelli di algoritmi:

A. Trasformazione della Probabilità (Bernoulli Factory)

Il cuore della metodologia consiste nel trasformare le osservazioni dalle due popolazioni ($X_1, X_2$) in una singola sequenza di variabili Bernoulliane $Y$ con un parametro $p$ specifico, tale che le odds di $Y$ ($p/(1-p)$) corrispondano esattamente al RR o all'OR desiderato.

• Per RR e LRR: Viene utilizzato l'Algoritmo 1. Si sceglie casualmente una popolazione ($i=1$ o $2$), si preleva un campione $X_i$. Se il risultato è un fallimento (0), si ripete; se è un successo (1), si genera un output $Y$ (1 se $i=1$, 0 se $i=2$). Questo genera una variabile con parametro $p = p_1 / (p_1 + p_2)$.
• Per OR e LOR: Viene utilizzato l'Algoritmo 2 (simile al metodo di von Neumann). Si prelevano coppie $(X_1, X_2)$. Se i risultati sono uguali ($0,0$o$1,1$), si scarta la coppia. Se sono diversi, si genera $Y=1$ se $X_1=1$ (e $X_2=0$) o $Y=0$ se $X_2=1$ (e $X_1=0$). Questo genera una variabile con parametro $p = p_1(1-p_2) / [p_1(1-p_2) + p_2(1-p_1)]$.

B. Stima Sequenziale Inversa Binomiale (IBS)

Una volta ottenuta la sequenza $Y$, si applicano procedure di Inverse Binomial Sampling (IBS) (estendendo il lavoro di Mendo 2025):

1. Si prelevano campioni da $Y$ fino a ottenere un numero fisso di successi ($r+\alpha$) e un numero fisso di fallimenti ($r-\alpha$), dove $\alpha$ dipende dal parametro stimato (1 per RR/OR, 0 per LRR/LOR).
2. Si calcola lo stimatore $\hat{\zeta}$ basandosi sul numero totale di campioni necessari per raggiungere queste soglie.
   • Per RR/OR: $\hat{\zeta} = \frac{r V''}{(r-1)(V'-1)}$
   • Per LRR/LOR: $\hat{\zeta} = -H_{V'-1} + H_{V''-1}$ (dove $H_k$ è il numero armonico).

C. Gestione del Campionamento in Coppie

Poiché l'algoritmo interno può richiedere un numero diverso di campioni da $X_1$ e $X_2$ (specialmente per RR/LRR), il metodo adotta una strategia "conservativa": i campioni vengono prelevati in coppie. Se un algoritmo richiede un campione da una popolazione ma ne ha già uno in eccesso dalla coppia precedente, lo utilizza; altrimenti, si preleva una nuova coppia. I campioni in eccesso alla fine del processo vengono scartati.

3. Contributi Chiave

1. Stimatori Non Distorti con Accuratezza Garantita: Gli stimatori proposti sono non distorti (unbiased) e garantiscono che l'errore quadratico medio (relativo o assoluto) sia inferiore a un target $A$ prefissato, indipendentemente dai valori reali di $p_1$ e $p_2$.
2. Efficienza Elevata per Eventi Rari: La principale innovazione è l'efficienza. Quando $p_1$ e $p_2$ sono piccoli (eventi rari), l'efficienza degli stimatori si avvicina a 1 (il limite di Cramér-Rao), superando significativamente i metodi precedenti basati su campionamento a gruppi fissi.
3. Analisi Teorica Rigorosa: Vengono forniti limiti inferiori rigorosi per l'efficienza ($\eta$) che dimostrano come questa tenda a 1 al diminuire della probabilità degli eventi.
4. Gestione Asimmetrica dei Campioni: Il lavoro risolve il problema di bilanciare l'efficienza teorica (che richiederebbe un numero variabile di campioni per popolazione) con il vincolo pratico di campionamento in coppie, quantificando la perdita di efficienza dovuta a questo vincolo.

4. Risultati Principali

• Efficienza di Campionamento ($\sigma$): Per RR e LRR, il fattore di efficienza $\sigma$ (rapporto tra il numero minimo teorico di campioni e le coppie effettivamente usate) è molto vicino a 1 per valori piccoli di $p_1, p_2$. La perdita dovuta allo scarto di campioni in eccesso è trascurabile in scenari di eventi rari.
• Efficienza di Stima ($\eta$):
  • Le simulazioni mostrano che per $\phi = \sqrt{p_1 p_2}$ piccolo (es. $< 0.1$), l'efficienza supera il 90-95%.
  • L'efficienza aumenta al diminuire del target di accuratezza $A$ (cioè quando si richiede una precisione maggiore).
  • Per OR e LOR, l'efficienza è indipendente da $\phi$ quando il rapporto $\theta = p_1/p_2 = 1$.
• Confronto con Metodi Esistenti: I risultati delle simulazioni (Fig. 2-5) mostrano che il metodo proposto supera nettamente l'approccio di Mendo (2026) specializzato per gruppi di dimensione 1, specialmente nel regime di probabilità basse.
• Limiti Indipendenti da $\theta$: Vengono derivati limiti inferiori per l'efficienza che non dipendono dal rapporto $\theta = p_1/p_2$, ma solo dalla massima probabilità $\rho = \max(p_1, p_2)$. Questo è cruciale per applicazioni pratiche dove $\theta$ è sconosciuto.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro è di fondamentale importanza per le scienze mediche e sociali (es. epidemiologia, psicologia) dove si studiano eventi rari (malattie rare, effetti collaterali rari).

• Riduzione dei Costi: L'alta efficienza significa che per raggiungere la stessa accuratezza statistica, sono necessari meno campioni rispetto ai metodi tradizionali, riducendo costi e tempi di raccolta dati.
• Robustezza: Il metodo funziona bene anche quando le probabilità sono molto diverse tra le due popolazioni o quando sono entrambe molto basse.
• Flessibilità: La capacità di garantire un errore massimo predefinito rende lo strumento ideale per studi clinici o osservazionali dove è necessario pianificare la dimensione campionaria in modo rigoroso senza conoscere a priori le probabilità sottostanti.

In sintesi, Mendo propone un framework matematico elegante che combina la trasformazione della probabilità con il campionamento sequenziale inverso, risolvendo il problema della stima efficiente di rapporti di rischio in scenari di dati scarsi e vincolati al campionamento in coppia.