Approximation Models for Shared Mobility Rebalancing Under Structured Spatial Imbalance

Titolo: Modelli di Approssimazione per il Ribilanciamento della Mobilità Condivisa sotto Squilibrio Spaziale Strutturato

1. Il Problema

I sistemi di mobilità condivisa (es. car-sharing, bike-sharing, ride-hailing) soffrono di un squilibrio spaziale persistente: i veicoli tendono ad accumularsi nelle destinazioni popolari, lasciando le origini prive di offerta. Per mantenere un'efficienza operativa, gli operatori devono riposizionare i veicoli vuoti dalle aree in eccesso a quelle in deficit.

• Sfida Computazionale: Calcolare esattamente la distanza minima di ribilanciamento richiede la risoluzione di un programma lineare di trasporto (problema di Earth Mover's Distance o Wasserstein-1, $W_1$). A scala cittadina, questo approccio è computazionalmente proibitivo ($O(n^3 \log n)$) e richiede risorse di memoria elevate, rendendolo inadatto per la pianificazione iterativa o il benchmarking rapido.
• Gap nella letteratura: I modelli analitici esistenti si concentrano su problemi "one-to-many" (come il TSP o VRP da un deposito) o su sistemi stocastici con media zero. Manca un modello in forma chiusa che quantifichi il costo di ribilanciamento in regioni bidimensionali rettangolari, tenendo conto simultaneamente dell'area, del rapporto d'aspetto e di uno squilibrio strutturato (non casuale) tra domanda e offerta.

2. Metodologia

Gli autori derivano modelli di approssimazione in forma chiusa per la distanza minima di ribilanciamento in regioni rettangolari ($\Omega = [0, L] \times [0, W]$), considerando due metriche di distanza:

1. Metrica Manhattan ($L_1$): Adatta alle reti stradali a griglia (es. città con isolati).
2. Metrica Euclidea ($L_2$): Adatta per movimenti liberi (es. droni, o come limite teorico inferiore).

Fasi della derivazione:

• Indice di Squilibrio ($I$): Viene introdotto un indice scalare basato sulla distanza di variazione totale tra le densità di origine ($f$) e destinazione ($g$):
  $$I = \frac{1}{2} \int_{\Omega} |f(x) - g(x)| dx$$
  Questo indice condensa l'intero pattern di domanda in un'unica quantità interpretabile ($I \in [0, 1]$), dove 0 indica equilibrio perfetto e 1 indica un disallineamento massimo.
• Formulazione di Beckmann: Il problema di trasporto ottimo viene riformulato come un problema di flusso continuo vettoriale $\mathbf{v}(x)$ che soddisfa l'equazione di divergenza $\nabla \cdot \mathbf{v} = \rho$ (dove $\rho = f-g$ è la densità di squilibrio).
• Decomposizione Assiale (Manhattan): Per la metrica Manhattan, il costo totale è approssimato sommando i costi di trasporto lungo gli assi $x$ ed $y$ separatamente. Questo porta a una soluzione in forma chiusa che dipende dalla somma delle dimensioni del rettangolo.
• Analisi di Fourier (Euclidea): Per la metrica Euclidea, viene utilizzata un'analisi delle mode di Fourier dominanti del campo di squilibrio per derivare una struttura analoga.
• Fattore di Forma: Viene introdotto un fattore di forma $g_M(\kappa)$ che dipende solo dal rapporto d'aspetto $\kappa = L/W$:
  $$g_M(\kappa) = \frac{\kappa + 1}{\sqrt{\kappa}}$$
  Questo fattore mostra che le regioni quadrate ($\kappa=1$) minimizzano il costo di ribilanciamento.

Modello Unificato:
La distanza di ribilanciamento per veicolo ($W_1$) e il totale dei veicoli-chilometri ($VKT$) sono modellati come:
$$W_1 \approx C \cdot I \cdot \sqrt{R} \cdot g_M(\kappa)$$
$$E[VKT] \approx C \cdot I \cdot (\lambda h) \cdot R^{3/2} \cdot g_M(\kappa)$$
Dove $C$ è una costante di calibrazione specifica per la metrica e il pattern di domanda, $R$ è l'area, e $\lambda h$ è il volume dei viaggi.

3. Contributi Chiave

1. Indice di Squilibrio Scalare: Introduzione di un indice ($I$) che quantifica lo squilibrio strutturato supply-demand, permettendo di condensare pattern complessi in un singolo parametro.
2. Modelli in Forma Chiusa Unificati: Derivazione di formule analitiche per entrambe le metriche (Manhattan ed Euclidea) che condividono la stessa struttura funzionale, includendo esplicitamente l'effetto della geometria della regione (rapporto d'aspetto).
3. Limiti Rigorosi: Dimostrazione di un limite superiore rigoroso per la distanza di Wasserstein-1 in regioni rettangolari.
4. Validazione Estensiva: Confronto con 500 soluzioni esatte di programmazione lineare (LP) per metrica e un caso studio reale su New York City.

4. Risultati

• Calibrazione e Accuratezza:
  • I modelli sono stati calibrati su 500 istanze simulate per metrica.
  • Le costanti di calibrazione stimate sono $\hat{C}_M \approx 0.144$ (Manhattan) e $\hat{C}_E \approx 0.119$ (Euclidea). Il rapporto tra le due ($\approx 0.825$) è coerente con la previsione teorica $\pi/4 \approx 0.785$ per flussi isotropi.
  • L'errore percentuale medio assoluto (MAPE) è del 18.9% per Manhattan e 25.2% per Euclidea.
  • L'esponente di scala per l'area ($\sqrt{R}$) è confermato essere vicino a 1.0 (validando la legge di scala $R^{3/2}$ per il VKT totale).
• Robustezza: I modelli mantengono un alto $R^2$ (>0.85) su diverse distribuzioni di domanda (uniforme, a cluster, asimmetrica direzionale), sebbene la costante $C$ vari significativamente (da ~0.12 per domanda uniforme a ~0.40 per domanda asimmetrica).
• Caso Studio NYC (Gennaio 2026):
  • Applicazione ai dati reali dei veicoli a noleggio (FHV) di New York City su 263 zone.
  • Il modello ha previsto con successo l'ordine di grandezza del costo di ribilanciamento.
  • Per l'area di tutti i borough di NYC, il MAPE di validazione è stato del 13.8%.
  • Per l'isola di Manhattan (geografia più allungata), l'errore è stato più alto (30.2%), evidenziando la sensibilità del modello alla struttura spaziale specifica e alla necessità di calibrare $C$ per pattern di domanda specifici.
  • Il modello ha stimato un fabbisogno teorico minimo di 238.000 km/giorno di veicoli vuoti per l'intera NYC.

5. Significato e Implicazioni

• Strumento Decisionale "Solver-Free": Fornisce agli operatori e ai progettisti di sistemi uno strumento rapido, basato su principi teorici, per il benchmarking delle prestazioni di ribilanciamento senza dover risolvere problemi di ottimizzazione complessi.
• Ottimizzazione della Geografia: Dimostra che la forma della regione di servizio influisce direttamente sui costi; regioni quadrate sono ottimali per demand isotropi, mentre regioni allungate aumentano i costi.
• Pianificazione Strategica: Permette di valutare l'impatto di politiche di gestione della domanda (riduzione di $I$) o di frequenza di ribilanciamento ($h$) sui costi operativi totali.
• Generalizzabilità: La logica analitica proposta può essere applicata ad altri problemi di logistica e allocazione di risorse che richiedono il riequilibrio spaziale (es. inventario, distribuzione umanitaria, robotica di magazzino).
• Limitazioni e Futuro: Il modello attuale assume regioni rettangolari e non cattura le correlazioni spaziali fine a livello giornaliero nella costante $C$. Lavori futuri potrebbero estendere la teoria a poligoni irregolari e incorporare termini di correlazione spaziale nell'indice di squilibrio.

In sintesi, il lavoro colma un vuoto significativo nella letteratura sulla mobilità condivisa, fornendo una legge di scala teorica e pratica per quantificare i costi di ribilanciamento, trasformando un problema di ottimizzazione complesso in una formula gestibile per la pianificazione strategica.