Approximation Models for Shared Mobility Rebalancing Under Structured Spatial Imbalance

Resumo Técnico: Modelos de Aproximação para Reequilíbrio de Mobilidade Partilhada sob Desequilíbrio Espacial Estruturado

1. Problema e Motivação

Os sistemas de mobilidade partilhada (como partilha de carros, bicicletas e serviços de ride-hailing) enfrentam um desafio operacional persistente: o desequilíbrio espacial. Os veículos tendem a concentrar-se em destinos populares, esgotando a oferta nas origens das viagens. Para manter a eficiência da frota, os operadores devem reposicionar veículos vazios das áreas de excesso para as de défice, o que gera custos operacionais significativos (quilómetros percorridos por veículos vazios, VKT).

O cálculo exato do custo mínimo de reequilíbrio requer a resolução de um Programa Linear de Transporte (equivalente à distância de Wasserstein-1 ou Earth Mover's Distance - EMD). No entanto, para escalas urbanas (centenas de zonas), este cálculo é computacionalmente proibitivo ($O(n^3 \log n)$), dificultando o planeamento iterativo e a análise de cenários em tempo real. Existe uma lacuna na literatura para modelos de forma fechada (closed-form) que relacionem o custo de reequilíbrio com a geometria da região e o padrão de desequilíbrio da procura.

2. Metodologia

Os autores desenvolveram modelos analíticos de aproximação para a distância mínima de reequilíbrio em regiões retangulares, considerando duas métricas de distância:

• Métrica de Manhattan ($L_1$): Adequada para redes de estradas em grelha (comum em cidades como Nova Iorque).
• Métrica Euclidiana ($L_2$): Adequada para movimento desrestrito (ex.: drones ou como limite teórico inferior).

Estrutura do Modelo:

1. Índice de Desequilíbrio ($I$): Introduz-se um índice escalar que quantifica a discrepância estruturada entre a densidade de origens ($f$) e destinos ($g$). É definido como a distância de variação total:
   $$I = \frac{1}{2} \int_{\Omega} |f(x) - g(x)| dx$$
   Onde $I \in [0, 1]$. $I=0$ indica equilíbrio perfeito; $I=1$ indica desequilíbrio máximo (origens e destinos disjuntos).
2. Fator de Forma ($g_M(\kappa)$): Um fator que depende apenas da razão de aspecto ($\kappa = L/W$) da região retangular, onde $L$ é o comprimento e $W$ a largura.
   $$g_M(\kappa) = \frac{\kappa + 1}{\sqrt{\kappa}}$$
3. Derivação Analítica:
   • Utiliza-se a reformulação de Beckmann para fluxos contínuos, transformando o problema de transporte discreto num problema de minimização de fluxo vetorial.
   • Para a métrica de Manhattan, o problema 2D é decomposto em dois problemas 1D independentes (eixo X e eixo Y), somando os custos.
   • Para a métrica Euclidiana, utiliza-se uma análise de modos de Fourier dominantes para estimar o custo.
4. Fórmula Unificada: Ambos os modelos resultam numa estrutura unificada para a distância média de reequilíbrio por veículo ($W_1$):
   $$W_1 \approx C \cdot I \cdot \sqrt{R} \cdot g_M(\kappa)$$
   Onde $R$ é a área da região e $C$ é uma constante de calibração específica para a métrica e padrão de procura. O VKT total é obtido multiplicando $W_1$ pelo número de viagens ($N$).

3. Principais Contribuições

1. Índice de Desequilíbrio Escalar: Proposta de um índice ($I$) que condensa o padrão completo de procura numa única quantidade interpretável, capturando o desequilíbrio estrutural (diferença entre origens e destinos) em vez de apenas flutuações estocásticas.
2. Modelos de Forma Fechada: Derivação de fórmulas analíticas para a distância mínima de reequilíbrio sob métricas de Manhattan e Euclidiana, incorporando explicitamente a geometria da região (razão de aspecto) e o tamanho da área.
3. Limites Rigorosos: Prova de um limite superior rigoroso para a distância de Wasserstein-1, validando a estrutura funcional dos modelos.
4. Validação Empírica e Numérica:
   • Calibração contra 500 soluções exatas de Programação Linear (LP) por métrica.
   • Estudo de caso real utilizando dados de veículos de aluguer (FHV) de Nova Iorque (Janeiro de 2026) em 263 zonas de análise de tráfego.

4. Resultados

• Precisão Numérica: Os modelos aproximados reproduzem as soluções exatas de LP com alta precisão.
  • Métrica de Manhattan: Erro Absoluto Percentual Médio (MAPE) de 18,9%.
  • Métrica Euclidiana: MAPE de 25,2%.
  • O expoente de escala da área ($\sqrt{R}$) foi confirmado com precisão de 2% da previsão teórica.
• Comportamento do Fator de Forma: Confirmou-se que regiões quadradas ($\kappa=1$) minimizam o custo de reequilíbrio, enquanto regiões alongadas aumentam o custo.
• Estudo de Caso (NYC):
  • O modelo foi aplicado a Nova Iorque (todos os distritos) e apenas à ilha de Manhattan.
  • O modelo capturou a escala de VKT com sucesso, embora tenha subestimado ligeiramente os custos em dias de eventos extremos (ex.: feriado de Ano Novo, tempestade de neve) devido à natureza não linear do desequilíbrio espacial nesses dias.
  • A constante de calibração ($C$) variou conforme a estrutura da procura: valores mais baixos para procura uniforme ou altamente estruturada (onde cancelamentos locais são eficientes) e valores mais altos para procura assimétrica direcional.
• Escalabilidade: O modelo prevê que o VKT total escala com $R^{3/2}$ (área ao quadrado vezes a raiz quadrada da área), indicando que a duplicação da área de serviço aumenta o custo de reequilíbrio mais do que linearmente.

5. Significado e Implicações

• Ferramenta de Planeamento: Os operadores de mobilidade partilhada podem utilizar estas fórmulas sem necessidade de resolvedores de otimização complexos para estabelecer benchmarks de desempenho, otimizar a frequência de reequilíbrio e avaliar intervenções de gestão de procura.
• Design de Região: O modelo fornece uma base teórica para o desenho de zonas de serviço, sugerindo que regiões quadradas são mais eficientes para procura isotrópica.
• Generalização: A lógica analítica aplica-se a outros problemas de reequilíbrio espacial, como reposicionamento de inventário, distribuição de ajuda humanitária e coordenação de robôs em armazéns.
• Limitações e Futuro: O modelo assume uma região retangular e captura a magnitude do desequilíbrio, mas não a sua disposição espacial detalhada (correlação espacial). Trabalhos futuros podem incorporar termos de correlação espacial e estender a teoria para polígonos irregulares.

Em suma, o artigo fornece uma ponte teórica e prática entre a complexidade computacional da otimização de transporte e a necessidade de modelos interpretáveis e rápidos para a gestão de frotas de mobilidade partilhada em escala urbana.