Approximation Models for Shared Mobility Rebalancing Under Structured Spatial Imbalance

Resumen Técnico: Modelos de Aproximación para el Reequilibrio de Movilidad Compartida bajo Desequilibrio Espacial Estructurado

1. Planteamiento del Problema

Los sistemas de movilidad compartida (coches compartidos, bicicletas, servicios de ride-hailing) enfrentan un desafío operativo fundamental: el desequilibrio espacial. Los vehículos tienden a concentrarse en destinos populares, dejando los orígenes sin suministro. Para mantener la eficiencia, los operadores deben reubicar vehículos vacíos desde zonas de excedente a zonas de déficit, lo que genera costos significativos (kilómetros recorridos en vacío o VKT).

• El desafío computacional: Calcular la distancia mínima de reequilibrio exacta requiere resolver un Programa Lineal (LP) de transporte (problema de distancia de Wasserstein o Earth Mover's Distance). En escala urbana, esto implica una complejidad computacional de $O(n^3 \log n)$, lo que lo hace inviable para la planificación iterativa o el análisis en tiempo real.
• La necesidad: Existe una brecha en la literatura para modelos analíticos de forma cerrada (closed-form) que puedan estimar este costo mínimo basándose en parámetros geométricos y de demanda, sin necesidad de resolver optimizaciones numéricas pesadas.

2. Metodología

Los autores desarrollan modelos de aproximación para la distancia mínima de reequilibrio en regiones de servicio rectangulares, considerando dos métricas de distancia:

1. Métrica de Manhattan ($L_1$): Adecuada para redes de calles en cuadrícula (movimiento este-oeste y norte-sur).
2. Métrica Euclidiana ($L_2$): Adecuada para movimiento libre o como límite inferior teórico.

Definiciones Clave:

• Índice de Desequilibrio ($I$): Se define como la distancia de variación total entre las densidades de origen ($f$) y destino ($g$):
  $$I = \frac{1}{2} \int_{\Omega} |f(x) - g(x)| dx$$
  Este escalar condensa todo el patrón de demanda en una sola cantidad interpretable ($I \in [0, 1]$), donde 0 es equilibrio perfecto y 1 es el desajuste máximo.
• Geometría: Se considera una región rectangular de área $R$ y relación de aspecto $\kappa = L/W$.

Derivación Teórica:

• Enfoque de Beckmann: Reformulan el problema de transporte óptimo como un problema de flujo continuo. En lugar de rastrear rutas individuales, modelan un campo de flujo vectorial $v(x)$ que satisface la ecuación de divergencia $\nabla \cdot v = \rho$ (donde $\rho$ es la densidad de desequilibrio).
• Descomposición (Métrica Manhattan): Aprovechan que en una cuadrícula la distancia total es la suma de las distancias en los ejes $x$ e $y$. Descomponen el problema 2D en dos subproblemas 1D independientes.
  • Demuestran que el costo en el eje $x$ escala con la longitud $L$ y el índice $I$.
  • Demuestran que el costo en el eje $y$ escala con la anchura $W$ y el índice $I$.
• Factor de Forma: Introducen un factor de forma $g_M(\kappa) = \frac{\kappa + 1}{\sqrt{\kappa}}$ que captura cómo la elongación de la región afecta el costo.

Fórmulas Resultantes:
La distancia promedio de reequilibrio por vehículo ($W_1$) se aproxima mediante:
$$W_1 \approx C \cdot I \cdot \sqrt{R} \cdot g_M(\kappa)$$
Donde $C$ es una constante de calibración específica para la métrica (Manhattan o Euclidiana).
El costo total de kilómetros recorridos (VKT) es:
$$E[VKT] \approx C \cdot I \cdot (\lambda h) \cdot R^{3/2} \cdot g_M(\kappa)$$
(Nota: El término $R^{3/2}$ surge de multiplicar el número de viajes $\propto R$ por la distancia promedio $\propto \sqrt{R}$).

3. Contribuciones Clave

1. Índice de Desequilibrio Escalar: Propone un índice $I$ que cuantifica el desajuste estructurado entre oferta y demanda, diferenciándose de modelos anteriores que solo consideraban fluctuaciones estocásticas con media cero.
2. Modelos Unificados de Forma Cerrada: Deriva fórmulas analíticas para ambas métricas (Manhattan y Euclidiana) que comparten la misma estructura funcional y factor de forma, validando teóricamente que el costo escala con la raíz cuadrada del área y la relación de aspecto.
3. Límite Superior Riguroso: Establece una prueba matemática de un límite superior para la distancia de Wasserstein-1, demostrando que el modelo de aproximación es una cota válida.
4. Validación Extensa:
   • Estudio Numérico: Comparación contra 500 soluciones exactas de LP por métrica, confirmando que el exponente de escalado del área es correcto dentro de un 2% del valor teórico.
   • Estudio de Caso Real: Aplicación a datos de vehículos de alquiler con conductor (FHV) de Nueva York (enero 2026) en 263 zonas de tráfico.

4. Resultados Principales

• Precisión de Predicción:
  • Métrica Manhattan: Error Absoluto Porcentual Medio (MAPE) del 18.9% en datos sintéticos y 10.9-13.8% en el caso de estudio de NYC (área completa).
  • Métrica Euclidiana: MAPE del 25.2% en datos sintéticos. La mayor error se debe a la aproximación de modos de Fourier y la suposición de isotropía.
• Escalado de Área: Los resultados validan empíricamente que el costo de reequilibrio total escala con $R^{3/2}$. Esto implica que duplicar el área de servicio no solo duplica el número de vehículos a mover, sino que también aumenta la distancia promedio de reubicación en un factor de $\sqrt{R}$.
• Impacto de la Geometría: El factor de forma $g_M(\kappa)$ demuestra que las regiones cuadradas ($\kappa=1$) minimizan el costo de reequilibrio. Las regiones alargadas incrementan el costo significativamente.
• Estudio de Caso NYC:
  • El modelo predijo con éxito el comportamiento diario de reequilibrio en toda la ciudad de Nueva York.
  • Se observó que la constante de calibración $C$ varía según el patrón de demanda: es menor para demandas uniformes y mayor para demandas asimétricas direccionales (ej. flujos de commuting).
  • El modelo subestima ligeramente los costos en días extremos (festivos, tormentas) donde la estructura espacial del desequilibrio se vuelve altamente concentrada y no lineal.

5. Significado e Implicaciones

• Herramienta para Operadores: Proporciona a los operadores de movilidad un método "sin solucionador" (solver-free) y teóricamente fundamentado para:
  • Establecer líneas base de rendimiento (benchmarking).
  • Optimizar la frecuencia de reequilibrio ($h$).
  • Evaluar el impacto de intervenciones de gestión de la demanda (incentivos para reducir $I$).
• Diseño de Sistemas: Sugiere que la partición de áreas de servicio en subregiones cuadradas puede reducir drásticamente los costos operativos.
• Generalización: La lógica analítica propuesta es aplicable más allá de la movilidad compartida, extendiéndose a problemas de reposición de inventario, distribución de ayuda humanitaria y coordinación de robots en almacenes.
• Limitaciones y Futuro: El modelo asume una región rectangular y un índice escalar que no captura la correlación espacial fina. Futuras investigaciones podrían extender la teoría a polígonos irregulares e incorporar términos de correlación espacial en el índice de desequilibrio.

En conclusión, este trabajo cierra la brecha entre la teoría de transporte óptimo compleja y la práctica operativa, ofreciendo leyes de escalado robustas que permiten a los diseñadores de sistemas entender y predecir los costos de reequilibrio sin depender exclusivamente de simulaciones computacionalmente costosas.