Optimal constant for the trace inequality in $BV$ for domains with corners

1. Introduzione e Formulazione del Problema

Il lavoro si inserisce nel contesto dell'analisi variazionale e della teoria delle funzioni a variazione limitata (BV). L'obiettivo principale è determinare il valore esplicito della costante ottimale nella disuguaglianza di traccia per funzioni in $BV(\Omega)$, quando il dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ presenta singolarità al bordo, in particolare angoli o spigoli (corners).

Contesto Matematico:
Per domini con bordo regolare ($C^1$), è noto (grazie a Giusti) che la costante ottimale $Q_{\partial\Omega}$ nella disuguaglianza di traccia è uguale a 1. Tuttavia, per domini con angoli sporgenti, questa costante può essere strettamente maggiore di 1.
Il problema centrale è trovare il valore di:
$$Q_{\partial\Omega} = \sup_{x \in \partial\Omega} q_{\partial\Omega}(x)$$
dove $q_{\partial\Omega}(x)$ è definito come il limite asintotico di un problema variazionale geometrico locale in una sfera $B(x, \rho)$:
$$q_{\partial\Omega}(x) := \lim_{\rho \to 0^+} \sup \left\{ \frac{1}{P(E; \Omega)} \int_{\partial\Omega} \text{Tr}(1_E) \, d\mathcal{H}^{n-1} : E \subset B(x, \rho), |E|>0, P(E; \Omega) < \infty \right\}$$
Qui, $\text{Tr}(1_E)$ è la traccia dell'indicatrice dell'insieme $E$ sul bordo, e $P(E; \Omega)$ è il perimetro relativo di $E$ in $\Omega$.

Motivazione Applicativa:
La determinazione di questa costante è cruciale per l'esistenza di soluzioni in problemi di minimizzazione che coinvolgono sia energie di volume che energie di bordo (ad esempio, funzionali del tipo $F(u) = |Du|(\Omega) + \alpha \int_{\partial\Omega} |\text{Tr}(u)| d\mathcal{H}^{n-1}$). Se $\alpha$ è troppo negativo, il problema non ammette soluzione a meno che non si conosca il limite inferiore preciso per il rapporto tra la traccia e il perimetro.

2. Metodologia e Strumenti

Gli autori utilizzano strumenti avanzati della Teoria Geometrica della Misura per analizzare il comportamento asintotico del problema variazionale vicino alle singolarità.

• Riduzione a Coni: Poiché il problema è locale e asintotico ($\rho \to 0$), lo studio si riduce all'analisi di un cono $C$ che approssima localmente il dominio $\Omega$ in un punto singolare (preso come l'origine). Il valore $q_{\partial\Omega}(0)$ coincide con $\alpha(C)$, il supremo del rapporto funzionale sul cono.
• Teorema di Rappresentazione di Riesz e Teorema di Struttura di De Giorgi: Vengono utilizzati per definire il perimetro di insiemi non regolari e per collegare la misura di Gauss-Green alla misura di Hausdorff sul bordo ridotto.
• Campo Vettoriale Costante: La strategia chiave consiste nell'introdurre un campo vettoriale costante $T = (0, \dots, 0, 1)$ e applicare il teorema della divergenza generalizzato su un insieme $E \subset C$. Questo permette di legare l'integrale della traccia sul bordo del cono con il perimetro interno di $E$.
• Analisi della Geometria del Bordo: Viene studiato il prodotto scalare tra il vettore normale al bordo del cono $\nu_C$ e il campo vettoriale $T$. La costante ottimale dipende direttamente dalla costanza di questo prodotto scalare.

3. Risultati Principali

Il contributo più significativo del paper è la determinazione esplicita della costante ottimale per una classe specifica di coni singolari.

A. Il Caso dei Coni con Base "Iscrivibile" (Teorema 19)

Gli autori considerano coni $C \subset \mathbb{R}^n$ la cui base $G(f) \subset \mathbb{R}^{n-1}$ ammette una sfera inscritta $S_R(\bar{x})$ con la proprietà che ogni iperpiano tangente alla base in un punto $y$ è anche tangente alla sfera nello stesso punto.

Risultato:
Per tali coni, la costante ottimale è data esplicitamente da:
$$\alpha(C) = \frac{\sqrt{1 + R^2}}{R} = \sqrt{1 + \frac{1}{R^2}}$$
dove $R$ è il raggio della sfera inscritta nella base del cono.

Caratterizzazione dei Massimizzanti:
L'insieme $E$ che realizza il supremo (il massimizzante) è unico a meno di traslazioni lungo l'asse del cono e scala. Esso è l'intersezione del cono con un semispazio ortogonale all'asse del cono:
$$E = C \cap \{ x \in \mathbb{R}^n : x \cdot \bar{x} \leq t \}$$
In termini geometrici, la superficie che massimizza il rapporto è un piano ortogonale all'asse del cono (o alla bisettrice nel caso bidimensionale).

B. Generalizzazione e Limiti (Corollario 23)

Per coni più generali che non soddisfano la condizione di tangenza perfetta, ma per cui ogni piano tangente alla base è o tangente alla sfera inscritta o non interseca la sfera, gli autori forniscono un limite superiore:
$$\alpha(C) \leq \frac{\sqrt{1 + R^2}}{R}$$
dove $R$ è il raggio della più grande sfera possibile che soddisfa le condizioni geometriche. Poiché la funzione è decrescente rispetto a $R$, la stima più precisa si ottiene massimizzando il raggio della sfera inscritta.

C. Non Esistenza del Massimizzante in Casi Generali

Il paper discute anche casi in cui il massimizzante potrebbe non esistere. Viene fornito un esempio (il "cono libro" a 90 gradi in $\mathbb{R}^3$) dove una successione di insiemi massimizza il rapporto, ma il limite della successione ha misura nulla, rendendo il problema privo di soluzione ammissibile nel senso stretto, sebbene il valore del supremo sia ben definito ($\sqrt{2}$ in quel caso).

4. Significato e Implicazioni

1. Generalizzazione del Risultato di Giusti: Mentre Giusti aveva risolto il caso per domini $C^1$ (dove la costante è 1), questo lavoro estende la teoria ai domini con angoli, fornendo una formula esplicita che dipende dalla geometria dell'angolo (tramite il raggio della sfera inscritta).
2. Validazione delle Intuizioni Geometriche: Conferma l'intuizione che, anche in dimensioni superiori ($n \geq 2$), la configurazione ottimale per massimizzare la traccia rispetto al perimetro è data da un taglio ortogonale all'asse di simmetria del cono (o alla bisettrice dell'angolo).
3. Applicabilità ai Poliedri: Il risultato si applica a una vasta gamma di forme, inclusi poliedri regolari e forme convessie con base "iscrivibile", offrendo strumenti pratici per l'analisi di problemi di minimizzazione in domini poligonali o poliiedrici.
4. Limiti Aperti: Il lavoro evidenzia che per forme non regolari (es. un rettangolo non quadrato in 3D che non ha una sfera inscritta tangente a tutti i lati), la formula esatta potrebbe non applicarsi direttamente, lasciando aperta la questione per coni convessi generali.

In sintesi, il paper fornisce una soluzione analitica elegante e rigorosa a un problema geometrico variazionale fondamentale, collegando la costante di traccia nella teoria BV alla geometria della sfera inscritta nella singolarità del dominio.