Optimal constant for the trace inequality in $BV$ for domains with corners

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'analyse variationnelle dans les espaces de fonctions à variation bornée (BV) sur des domaines $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ possédant des singularités à la frontière, spécifiquement des coins ou des pointes.

Le problème central réside dans la détermination de la constante optimale dans l'inégalité de trace pour les fonctions $u \in BV(\Omega)$. Plus précisément, les auteurs cherchent à caractériser la plus petite constante $C$ telle que l'inégalité suivante soit vérifiée pour tout $u \in BV(\Omega)$ :
$$\int_{\partial \Omega} |\text{Tr}(u)(x)| \, d\mathcal{H}^{n-1} \leq C \left( \int_{\Omega} |u(x)| \, dx + |Du|(\Omega) \right)$$
où $\text{Tr}(u)$ est la trace de $u$ sur la frontière, $|Du|(\Omega)$ est la variation totale de la mesure de gradient, et $\mathcal{H}^{n-1}$ est la mesure de Hausdorff $(n-1)$-dimensionnelle.

Dans le contexte des problèmes de minimisation d'énergie (comme $F(u) = |Du|(\Omega) + \alpha \int_{\partial \Omega} |\text{Tr}(u)|$), la valeur critique de $\alpha$ (au-delà de laquelle le problème n'admet pas de solution) est directement liée à la constante optimale de cette inégalité.

La littérature antérieure (Anzellotti, Giaquinta, Giusti) a établi que pour des domaines à frontière lisse ($C^1$), la constante locale $q_{\partial \Omega}(x)$ vaut 1. Cependant, en présence de singularités (coins), cette constante peut être strictement supérieure à 1. L'objectif de ce papier est de calculer explicitement cette constante pour une classe spécifique de singularités géométriques.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche géométrique et variationnelle basée sur la théorie de la mesure géométrique :

1. Réduction à un problème asymptotique :
   La constante globale $Q_{\partial \Omega}$ est définie comme le supremum des constantes locales $q_{\partial \Omega}(x)$ sur la frontière. Pour un point singulier $x$, la valeur locale $q_{\partial \Omega}(x)$ est obtenue en étudiant le comportement asymptotique de petits ensembles autour de $x$. Si le domaine est localement un cône $C$, le problème se réduit à maximiser le rapport :
   $$\beta(E) = \frac{\int_{\partial C} \text{Tr}(\mathbf{1}_E) \, d\mathcal{H}^{n-1}}{P(E; C)}$$
   où $P(E; C)$ est le périmètre relatif de l'ensemble $E$ dans le cône $C$.

2. Outils de la théorie de la mesure :

   • Utilisation de la mesure de Hausdorff et de la mesure de Gauss-Green pour définir rigoureusement le périmètre et la normale sur des ensembles de périmètre fini.
   • Application du théorème de représentation de Riesz pour lier la divergence des champs de vecteurs aux mesures de surface.
   • Utilisation du théorème de structure de De Giorgi pour caractériser la frontière réduite $\partial^* E$.

3. Stratégie de preuve par champ de vecteurs :
   Pour majorer le rapport $\beta(E)$, les auteurs construisent un champ de vecteurs constant $T = (0, \dots, 0, 1)$ et utilisent le théorème de la divergence généralisé sur un ensemble $E$ de périmètre fini. L'idée clé est de relier l'intégrale de la trace sur la frontière du cône à l'intégrale de la composante normale de $E$ à l'intérieur du cône.

4. Géométrie des cônes :
   L'analyse se concentre sur des cônes $C$ dont la base $G(f) \subset \mathbb{R}^{n-1}$ possède une propriété géométrique spécifique : l'existence d'une sphère inscrite (ou d'un cercle en dimension 2) telle que tout plan tangent à la base en un point est également tangent à cette sphère.

3. Résultats Principaux

Le résultat central de l'article est la détermination explicite de la constante optimale pour une classe de cônes généralisant les angles en dimension 2.

Théorème Principal (Théorème 2 et Théorème 19) :
Soit $C$ un cône dans $\mathbb{R}^n$ dont la base $G(f)$ admet une sphère inscrite $S_R(\bar{x})$ de rayon $R$ centrée en $\bar{x}$, telle que tout hyperplan tangent à $G(f)$ en un point $y$ est également tangent à $S_R(\bar{x})$. Alors, la constante optimale $q_{\partial \Omega}(0)$ (notée $\alpha(C)$ dans le papier) est donnée par :
$$\alpha(C) = \frac{\sqrt{1 + R^2}}{R} = \sqrt{1 + \frac{1}{R^2}}$$

Caractérisation des maximisateurs :
Les ensembles $E \subset C$ qui réalisent ce supremum sont exactement les intersections du cône avec des demi-espaces définis par un plan orthogonal à l'axe de symétrie du cône (ou à la direction du vecteur reliant le sommet au centre de la sphère inscrite). Plus précisément, $E = C \cap \{ x \in \mathbb{R}^n : x \cdot \bar{x} \leq t \}$ pour un certain $t > 0$.

Cas de la dimension 2 (Remark 20) :
En dimension $n=2$, pour tout angle (défini par deux demi-droites), la condition de la sphère inscrite est toujours satisfaite. La constante optimale est donc toujours $\sqrt{1 + R^2}/R$, où $R$ est le rayon du cercle inscrit dans l'angle. Cela confirme l'intuition géométrique que le minimiseur est un segment orthogonal à la bissectrice de l'angle.

Non-existence de solutions pour certains cônes :
L'article discute également du fait que, bien que la constante optimale existe toujours, un ensemble maximisateur (solution du problème de maximisation) n'existe pas nécessairement. L'exemple du « cône livre » (un cône en 3D formé de deux plans pliés à 90°) montre qu'une suite maximisante peut converger vers un ensemble de mesure nulle (dégénérescence), rendant le problème de maximisation sans solution dans l'espace des ensembles de mesure strictement positive, bien que la constante soit atteinte asymptotiquement.

4. Contributions Clés

1. Valeur explicite pour les singularités : Le papier fournit la première formule explicite pour la constante de trace optimale dans des domaines à coins en dimension $n \geq 2$, au-delà du cas classique $C^1$ où la constante vaut 1.
2. Généralisation de la dimension 2 : Il généralise le résultat connu pour les angles en 2D (où le minimiseur est orthogonal à la bissectrice) à des cônes en dimension supérieure possédant une sphère inscrite.
3. Analyse de l'existence : Il met en lumière la subtilité de l'existence des solutions pour ce problème variationnel spécifique, distinguant clairement l'existence de la constante optimale de l'existence d'un ensemble maximisateur.
4. Méthode géométrique unifiée : L'utilisation de la géométrie de la sphère inscrite permet de traiter une large classe de formes (polyèdres réguliers, formes irrégulières convexes) sous une même condition géométrique.

5. Signification et Perspectives

Ce travail est significatif pour l'analyse variationnelle et la physique mathématique, notamment pour les problèmes impliquant des énergies de surface et des énergies de bord (comme les modèles de mouillage ou les problèmes de fracture). La connaissance de la constante optimale est cruciale pour garantir l'existence de solutions dans des problèmes de minimisation d'énergie où le terme de bord est négatif.

L'article ouvre également des pistes pour la recherche future :

• Relâchement des hypothèses : Peut-on étendre ce résultat à des cônes convexes généraux qui n'ont pas de sphère inscrite (comme un rectangle non carré en 3D) ?
• Comportement des minimisateurs : Comprendre pourquoi et comment les solutions peuvent disparaître (dégénérer) dans certains cas de singularités complexes.

En résumé, ce papier établit un lien rigoureux entre la géométrie locale de la frontière (la présence d'une sphère inscrite) et la constante analytique optimale dans les inégalités de trace pour les fonctions BV, comblant ainsi une lacune importante dans la théorie des espaces BV sur des domaines non lisses.