Counterexamples to the Lorentzian Calderón problem

1. Il Problema: Il Problema di Calderón Lorentziano

Il lavoro si inserisce nel contesto dei problemi inversi per equazioni alle derivate parziali iperboliche su varietà lorentziane. Il Problema di Calderón Lorentziano è l'analogo in spazi-tempo del classico problema di Calderón (o EIT - Electrical Impedance Tomography) in geometria riemanniana.

• Obiettivo: Determinare la geometria sottostante di uno spaziotempo $(M, g)$, ovvero la metrica lorentziana $g$, a partire da misurazioni effettuate al bordo.
• Dati: Le misurazioni sono rappresentate dalla mappa Dirichlet-to-Neumann (DN) iperbolica ($\Lambda^{\text{Hyp}}_g$). Questa mappa associa al dato di Dirichlet $\phi$ (valore della soluzione dell'equazione delle onde al bordo) il flusso normale $\partial_\nu u$ (derivata normale della soluzione) sul bordo $\partial M$.
• Domanda di Unicità: Se due metriche lorentziane globalmente iperboliche $g$ e $g'$ sullo stesso manifold $M$ producono la stessa mappa DN (\Lambda^{\text{Hyp}}_g = \Lambda^{\text{Hyp}}_g'), sono esse isometriche tramite un diffeomorfismo che fissa il bordo?
• Contesto: Risultati recenti hanno dimostrato l'unicità sotto condizioni geometriche molto stringenti. Questo paper mira a dimostrare che, in assenza di tali condizioni (in particolare su cilindri con bordo di tipo tempo), l'unicità non vale.

2. Metodologia e Strumenti Teorici

Gli autori costruiscono controesempi basandosi sul principio di propagazione finita delle velocità e sulla struttura causale degli spaziotempo globalmente iperbolic.

A. Struttura Globale Iperbolica

Si assume che lo spaziotempo $(M, g)$ sia globalmente iperbolico. Ciò garantisce:

1. L'assenza di curve causali chiuse.
2. La compattezza dei "diamanti causali" $J^-_g(p) \cap J^+_g(q)$.
3. L'esistenza di una funzione temporale di Cauchy $\tau \in C^\infty(M)$, che permette di foliare lo spaziotempo in ipersuperfici di Cauchy spaziali $\Sigma_t$. La metrica ammette una rappresentazione globale: $g = -\kappa d\tau^2 + g_\tau$.

B. Il Concetto di "Inaccessibilità"

Il cuore della metodologia risiede nell'esistenza di un insieme aperto non vuoto $U \subset M$ che è inaccessibile dal bordo $\partial M$ rispetto alla struttura causale. Formalmente, si richiede che:
$$J^-_g(U) \cap \partial M = \emptyset \quad \text{oppure} \quad J^+_g(U) \cap \partial M = \emptyset$$
Ciò significa che nessun segnale (causale) può viaggiare dal bordo a $U$ (o viceversa) in tempo finito.

C. Costruzione delle Metriche (Proposizione 1.1)

Gli autori dimostrano che se esiste un tale insieme $U$, è possibile perturbare la metrica $g$ in una nuova metrica $g'$ tale che:

1. $g$ e $g'$ coincidono fuori da $U$ (e quindi al bordo).
2. $g$ e $g'$ non sono isometriche (hanno curvature scalari diverse).
3. La mappa sorgente-soluzione ($L_g$) rimane invariata. Poiché le equazioni delle onde non possono "sentire" le perturbazioni in $U$ se i dati sorgente sono esterni e le soluzioni non possono uscire da $U$ per raggiungere il bordo (o viceversa), le soluzioni coincidono fuori da $U$.

D. Collegamento alla Mappa DN (Proposizione 1.2)

Si dimostra che l'uguaglianza delle mappe sorgente-soluzione ($L_g = L_{g'}$) implica l'uguaglianza delle mappe Dirichlet-to-Neumann ($\Lambda^{\text{Hyp}}_g = \Lambda^{\text{Hyp}}_{g'}$). Questo passaggio utilizza un argomento di densità e proprietà di trasmissione delle onde, mostrando che i dati al bordo non possono distinguere le due metriche.

3. Risultati Principali e Controesempi

Il paper fornisce tre esempi espliciti di spaziotempo globalmente iperbolici contenenti un cilindro con bordo di tipo tempo, dove l'unicità fallisce:

1. Iperboloide di Minkowski:

   • Si considera lo spazio di Minkowski $\mathbb{R}^{1+n}$.
   • Si definisce un dominio $M$ delimitato da un iperboloide di tipo tempo.
   • Esiste una regione interna $U$ (un cono causale limitato) tale che nessun raggio di luce emesso da $U$ può raggiungere il bordo $\partial M$ prima di uscire dal dominio o viceversa.
   • Una perturbazione della metrica all'interno di $U$ non è rilevabile.

2. Spaziotempo di Schwarzschild (Buchi Neri e Buchi Bianchi):

   • Si utilizza la metrica di Schwarzschild estesa massimamente (spaziotempo di Kruskal).
   • Si considerano le regioni del buco nero ($B$) e del buco bianco ($W$).
   • Per definizione causale, nessuna curva causale può uscire dalla regione del buco nero verso l'esterno ($J^+(B) \cap \partial M = \emptyset$ per un bordo esterno), né entrare nel buco bianco dall'esterno.
   • Pertanto, perturbando la metrica all'interno di $B$ o $W$, la mappa DN al bordo esterno rimane invariata.

3. Universo con "Big Bounce" (FLRW):

   • Si considera una metrica cosmologica FLRW con un fattore di scala $a(t) = \cosh(Ht)$, che descrive un universo che si contrae e poi si espande (rimbalzo).
   • Si sceglie un cilindro spaziale di raggio $R$ sufficientemente grande.
   • A causa della dinamica cosmologica e della velocità finita della luce, esiste una regione centrale $U$ da cui i segnali non riescono a raggiungere il bordo entro un certo intervallo temporale (o viceversa), creando una zona "oscura" causalmente.

4. Significato e Implicazioni

• Negatività dell'Unicità: Il lavoro risponde negativamente alla domanda di unicità per il problema di Calderón Lorentziano in generale. Dimostra che i dati al bordo su un cilindro infinito con bordo di tipo tempo non sono sufficienti a determinare univocamente la metrica, a differenza di quanto avviene in alcuni contesti riemanniani o sotto condizioni geometriche molto forti.
• Ruolo della Causalità: L'articolo evidenzia come la struttura causale (la possibilità o meno di collegare punti interni al bordo tramite curve causali) sia il fattore determinante per l'identificabilità. Se una regione è causalmente disconnessa dal bordo, la sua geometria è invisibile.
• Confronto con il Cloaking: Gli esempi sono concettualmente simili al "cloaking" (invisibilità) studiato nel problema di Calderón riemanniano, ma qui la "copertura" non è ottenuta tramite metamateriali ingegnerizzati, ma è una proprietà intrinseca della dinamica delle onde in spaziotempo curvi e globalmente iperbolici.
• Impatto sulla Fisica: Questo risultato ha implicazioni per la fisica teorica e la cosmologia, suggerendo che osservazioni al "bordo" dell'universo (o in regioni asintotiche) potrebbero non essere sufficienti per ricostruire la geometria interna di regioni causalmente isolate, come l'interno di certi buchi neri o regioni di universi in espansione rapida.

In sintesi, Oksanen e Särkkänen dimostrano che la propagazione finita delle onde in geometrie lorentziane introduce limitazioni fondamentali alla risoluzione di problemi inversi, rendendo possibile la costruzione di spaziotempo distinti ma indistinguibili dalle misurazioni al bordo.