Counterexamples to the Lorentzian Calderón problem

1. Contexte et Problématique

Le problème de Calderón lorentzien est un problème de valeur aux limites inverse pour les équations aux dérivées partielles hyperboliques sur des variétés lorentziennes. L'objectif est de déterminer la géométrie sous-jacente d'un espace-temps (la métrique $g$) à partir de mesures effectuées à la frontière. Plus précisément, on cherche à reconstruire la métrique, à équivalence près par difféomorphismes fixant la frontière, en utilisant l'application de Dirichlet-Neumann (DN) hyperbolique $\Lambda_g^{\text{Hyp}}$.

Bien que des résultats de positivité (unicité) aient été obtenus récemment sous des conditions géométriques strictes, les auteurs s'interrogent sur la solvabilité unique dans le cas général d'un cylindre infini à frontière de type temps.

Question centrale (Question 1.1) : Soient $g$ et $g'$ deux métriques lorentziennes globalement hyperboliques sur une variété $M$, et soit $\mathcal{M} \subset M$ un cylindre avec une frontière de type temps $\partial\mathcal{M}$. Si les applications DN coïncident ($\Lambda_g^{\text{Hyp}} = \Lambda_{g'}^{\text{Hyp}}$), les métriques $g$ et $g'$ sont-elles isométriques via un difféomorphisme fixant la frontière ?

2. Méthodologie et Stratégie de Preuve

Les auteurs répondent par la négative à la question ci-dessus en construisant des contre-exemples basés sur le principe de propagation finie des ondes. La stratégie repose sur l'existence de régions de l'espace-temps qui sont « inaccessibles » depuis la frontière.

A. Construction de contre-exemples via des régions inaccessibles

Le cœur de la démonstration repose sur la proposition 1.1. Les auteurs montrent que si un espace-temps globalement hyperbolique contient un ouvert non vide $U \subset \mathcal{M}$ tel que :
$$J_g^-(U) \cap \partial\mathcal{M} = \emptyset \quad \text{ou} \quad J_g^+(U) \cap \partial\mathcal{M} = \emptyset$$
(c'est-à-dire qu'aucune courbe causale future ou passée ne relie $U$ à la frontière), alors il est possible de perturber la métrique $g$ en une métrique $g'$ telle que :

1. $g'$ n'est pas isométrique à $g$.
2. Les applications source-solution (et par conséquent les applications DN) restent identiques.

La perturbation est réalisée en modifiant la métrique uniquement à l'intérieur d'un ouvert $U$ isolé de la frontière. Grâce à la vitesse de propagation finie, les ondes générées par des sources à l'extérieur de $U$ ne pénètrent pas dans $U$ (ou n'en sortent pas pour atteindre la frontière), rendant la perturbation indétectable par les mesures de frontière.

B. Outils mathématiques clés

• Fonctionnelle temporelle de Cauchy : Utilisation du théorème de Bernal et Sánchez pour représenter l'espace-temps comme une variété produit $\mathbb{R} \times \Sigma$ avec une métrique de la forme $-\kappa d\tau^2 + g_\tau$.
• Lemmes de causalité : Démonstration que les ensembles causaux $J^\pm(U)$ sont invariants sous la perturbation de la métrique à l'intérieur de $U$ (Lemme 3.2).
• Analyse spectrale et géométrique : Utilisation du théorème de Morse-Sard pour garantir que les métriques perturbées ne sont pas isométriques (en modifiant la courbure scalaire de manière à créer des valeurs critiques différentes).
• Densité de l'application source-solution : Preuve que l'application source-solution a un image dense dans $L^2$ de la frontière, permettant de relier l'égalité des applications source-solution à l'égalité des applications DN (Proposition 1.2).

3. Résultats Principaux et Exemples Concrets

Les auteurs construisent explicitement trois familles de contre-exemples où l'unicité échoue :

1. Hyperboloïde dans l'espace de Minkowski :

   • On considère un domaine $\mathcal{M}$ dans l'espace de Minkowski $\mathbb{R}^{1+n}$ délimité par une hyperboloïde de type temps.
   • Il existe une région centrale $U$ (un cône de lumière tronqué) qui est causalement déconnectée de la frontière. Toute perturbation de la métrique dans $U$ reste invisible pour l'observateur extérieur.

2. Espaces-temps de trous noirs et trous blancs (Schwarzschild) :

   • Dans la métrique de Schwarzschild étendue (coordonnées de Kruskal), les régions du trou noir ($r < r_S, T > 0$) et du trou blanc ($r < r_S, T < 0$) sont causalement séparées de la région extérieure ($r > r_S$).
   • En choisissant une frontière à $r = r_0 > r_S$, les régions du trou noir et du trou blanc deviennent des ensembles $U$ inaccessibles. On peut donc modifier la géométrie à l'intérieur de ces régions sans affecter le DN map.

3. Univers avec « Big Bounce » (FLRW) :

   • Pour une métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker décrivant un univers qui se contracte puis rebondit ($g = -dt^2 + \cosh^2(Ht)g_E$), les auteurs montrent que la vitesse de propagation de la lumière est limitée par le rayon de l'univers à un instant donné.
   • En choisissant un cylindre spatial suffisamment grand, il existe des régions centrales $U$ et $U'$ (respectivement dans le passé et le futur lointain) dont les signaux n'atteignent jamais la frontière temporelle du cylindre.

4. Signification et Implications

• Limites de l'unicité : Ce travail démontre que, contrairement au problème elliptique de Calderón (Riemannien) où l'unicité est souvent garantie sous des hypothèses de régularité, le problème hyperbolique lorentzien souffre d'une non-unicité fondamentale due à la structure causale. La présence de régions causalement isolées de la frontière rend la reconstruction de la métrique impossible sans hypothèses supplémentaires fortes.
• Rôle de la propagation finie : Les contre-exemples exploitent directement la nature hyperbolique de l'équation d'onde. La « cloaking » (camouflage) n'est pas ici un artefact de transformation de coordonnées (comme dans certains exemples Riemanniens), mais une conséquence physique de la vitesse finie de la lumière et de la géométrie globale de l'espace-temps.
• Impact sur les problèmes inverses : Ces résultats soulignent la nécessité d'imposer des conditions géométriques très strictes (comme l'absence de zones causalement isolées ou des hypothèses de contrôle précis) pour espérer obtenir des résultats d'unicité dans les problèmes inverses en relativité générale et en physique des ondes.

En conclusion, Oksanen et Sarkkinen établissent rigoureusement que la donnée de l'application de Dirichlet-Neumann sur un cylindre à frontière de type temps est insuffisante pour déterminer de manière unique la métrique d'un espace-temps globalement hyperbolique, en raison de l'existence possible de régions « invisibles » causalement.