The Smallest Invariant Factor of Elliptic Curves, and Coincidences

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sullo studio della struttura del gruppo di punti di riduzione modulo $p$ di una curva ellittica $E$ definita su $\mathbb{Q}$, priva di moltiplicazione complessa (non-CM).
Per un primo $p$ di buona riduzione, il gruppo $E(\mathbb{F}_p)$ è un gruppo abeliano che può essere scritto come prodotto di al massimo due gruppi ciclici:
$$E(\mathbb{F}_p) \cong \mathbb{Z}/d_{E,p}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_{E,p}\mathbb{Z}$$
dove $d_{E,p} \mid e_{E,p}$. Il valore $d_{E,p}$ è il fattore invariante più piccolo.
Il problema centrale è determinare la densità dei primi $p$ per cui $d_{E,p}$ assume un valore fissato $j$. Cojocaru ha dimostrato (sotto l'ipotesi di Riemann generalizzata, GRH) che questa densità è data da una costante $C_{E,j}$.
La questione aperta affrontata dagli autori è: quando è vero che $C_{E,j} > 0$?
Se $C_{E,j} > 0$, allora (condizionalmente alla GRH) esistono infiniti primi $p$ tali che $d_{E,p} = j$. Se $C_{E,j} = 0$, allora $d_{E,p} \neq j$ per quasi tutti i primi. Il caso $j=1$ corrisponde alla ciclicità di $E(\mathbb{F}_p)$.

2. Metodologia

Gli autori utilizzano un approccio teorico-gruppo basato sulla rappresentazione di Galois adelic della curva ellittica.

• Rappresentazione di Galois: Si considera la rappresentazione adelic $\rho: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \text{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ associata a $E$. L'immagine $H = \text{im}(\rho)$ è un sottogruppo aperto di $\text{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ (per il teorema dell'immagine aperta di Serre).
• Livello Adelic ($m_E$): Viene definito il livello adelic $m_E$ come il minimo intero tale che il nucleo della riduzione mod $m_E$ sia contenuto in $H$.
• Analisi della Costante $C_{E,j}$: La costante è definita come una serie infinita:
  $$C_{E,j} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)}{[\mathbb{Q}(E[jk]) : \mathbb{Q}]}$$
  Gli autori riconducono il problema della positività di $C_{E,j}$ a proprietà algebriche dell'immagine di Galois $H$. In particolare, dimostrano che $C_{E,j} = 0$ se e solo se esiste una "coincidenza" tra campi di divisione, ovvero se l'intersezione di certi sottogruppi di $H$ soddisfa una specifica relazione di unione (Proposizione 2.3).
• Strumenti Chiave:
  • Uso del Lemma di Goursat per analizzare le immagini di Galois su prodotti di gruppi.
  • Studio delle estensioni ciclotomiche e delle loro intersezioni con i campi di divisione $\mathbb{Q}(E[n])$.
  • Analisi delle "coincidenze" di campi di divisione, definite come uguaglianze $\mathbb{Q}(E[j]) = \mathbb{Q}(E[jp])$ per un primo $p$.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

A. Criterio di Positività Generalizzato

Il risultato principale è un criterio sufficiente per garantire che $C_{E,j} > 0$, che generalizza e rafforza i risultati precedenti di Kim (2015) e Cojocaru-Mazur (2004).

• Teorema 1.6: Se $j$ è coprimo a $2A(E)$ (dove $A(E)$ è il prodotto dei primi per cui la rappresentazione $p$-adica non è suriettiva) e se $\mathbb{Q}(E[2]) \not\subset \mathbb{Q}(E[j])$, allora $C_{E,j} > 0$.
• Teorema 3.2 (Criterio Raffinato): Fornisce una condizione necessaria e sufficiente più fine basata sull'intersezione tra il campo di divisione $\mathbb{Q}(E[j])$ e il campo ciclotomico $\mathbb{Q}(\zeta_R)$, dove $R$ è legato al livello adelic. Questo teorema permette di trattare casi in cui $j$ e $2A(E)$ non sono coprimi, risolvendo situazioni che il teorema di Kim non copriva.

B. Classificazione delle "Coincidenze"

Gli autori studiano quando $C_{E,j} = 0$.

• Congettura 2.6: Per curve non-CM, $C_{E,j} = 0$ se e solo se esiste un primo $p$ tale che $\mathbb{Q}(E[j]) = \mathbb{Q}(E[jp])$.
• Congettura 4.2: Per curve non-CM su $\mathbb{Q}$, tali coincidenze avvengono solo per $p=2$ o $p=3$. Non esistono coincidenze per $p \ge 5$.
• Verifica Computazionale: La congettura è stata verificata per tutte le curve ellittiche nel LMFDB (conducibilità $\le 500.000$).

C. Costruzione di Famiglie di Esempi

Il paper documenta famiglie infinite di curve che soddisfano le coincidenze (e quindi hanno $C_{E,j}=0$), derivanti da campi di divisione abeliani:

• Torsione 2-adica: Costruzioni basate su campi di divisione $\mathbb{Q}(E[2^r])$ abeliani (Proposizioni 4.5, 4.6).
• Torsione 3-adica: Costruzioni basate su campi di divisione $\mathbb{Q}(E[3])$ abeliani (Proposizione 4.7).
• Vengono forniti esempi espliciti di curve (con etichette LMFDB) che mostrano coincidenze come $\mathbb{Q}(E[2]) = \mathbb{Q}(E[4])$ o $\mathbb{Q}(E[3]) = \mathbb{Q}(E[6])$.

D. Correzione di un Errore nella Letteratura

Gli autori identificano e correggono un errore nella dimostrazione originale di Cojocaru e Mazur ([CM04]) riguardante la positività di $C_{E,1}$ (ciclicità). L'errore riguardava l'assunzione di indipendenza lineare di certi campi di estensione. La Sezione 5 fornisce una correzione rigorosa utilizzando un'analisi più dettagliata della densità $\delta(F)$, confermando che $C_{E,1} > 0$ se $\mathbb{Q}(E[2]) \neq \mathbb{Q}$.

4. Significato e Impatto

• Comprensione della Struttura dei Punti: Il lavoro chiarisce profondamente quando una curva ellittica ha un numero infinito di riduzioni con un fattore invariante specifico, collegando la teoria dei numeri analitica (densità dei primi) alla teoria dei gruppi di Galois.
• Generalizzazione: Rimuove restrizioni tecniche (come la coprimilità con il conduttore) presenti nei lavori precedenti, offrendo un criterio più robusto e applicabile.
• Classificazione delle Anomalie: Fornisce una classificazione quasi completa delle "coincidenze" di campi di divisione, suggerendo che queste sono fenomeni rari e limitati a piccoli primi ($p=2,3$), il che ha implicazioni per la teoria delle rappresentazioni di Galois e la geometria aritmetica.
• Strumenti Computazionali: L'integrazione con i dati del LMFDB e la verifica computazionale delle congetture offrono un ponte solido tra teoria e sperimentazione numerica.

In sintesi, Milner e Shotton risolvono il problema della positività della costante di densità $C_{E,j}$ caratterizzando esattamente le condizioni algebriche (assenza di coincidenze di campi di divisione) sotto le quali tale densità è non nulla, fornendo al contempo una correzione tecnica a un risultato classico e una mappa dettagliata delle eccezioni.