The Smallest Invariant Factor of Elliptic Curves, and Coincidences

Resumen Técnico: El Factor Invariante Más Pequeño de Curvas Elípticas y Coincidencias

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda la distribución de los factores invariantes de los grupos de puntos de una curva elíptica $E$ definida sobre $\mathbb{Q}$ reducida módulo un primo $p$ de buena reducción.
Para un primo $p$, el grupo $E(\mathbb{F}_p)$ es un producto de dos grupos cíclicos:
$$E(\mathbb{F}_p) \cong \mathbb{Z}/d_{E,p}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/e_{E,p}\mathbb{Z}$$
donde $d_{E,p} \mid e_{E,p}$. El valor $d_{E,p}$ es el factor invariante más pequeño.

• Si $d_{E,p} = 1$, el grupo es cíclico.
• El problema central es determinar la densidad de primos $p$ para los cuales $d_{E,p} = j$ para un entero fijo $j$.

Bajo la Hipótesis de Riemann Generalizada (GRH), Cojocaru ([Coj04]) demostró que la densidad de tales primos es asintóticamente $C_{E,j} \cdot \text{Li}(x)$, donde $C_{E,j}$ es una constante explícita definida por una serie infinita:
$$C_{E,j} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)}{[\mathbb{Q}(E[jk]) : \mathbb{Q}]}$$
El problema fundamental que resuelven los autores es determinar cuándo $C_{E,j} > 0$. Si $C_{E,j} = 0$, entonces solo hay un número finito de primos con $d_{E,p} = j$. El objetivo es caracterizar las condiciones bajo las cuales esta constante es estrictamente positiva, especialmente cuando $j$ no es coprimo con ciertos niveles de la representación adélica.

2. Metodología

Los autores emplean un enfoque teórico-grupal basado en la imagen de la representación de Galois adélica de la curva elíptica.

• Representación Adélica: Se considera la representación $\rho: \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \text{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$. Sea $H = \text{im}(\rho)$.
• Nivel Adélico ($m_E$): Se define como el menor entero tal que el núcleo de la reducción módulo $m_E$ está contenido en $H$.
• Análisis de Campos de División: La positividad de $C_{E,j}$ se reduce a estudiar las intersecciones de campos de división $\mathbb{Q}(E[n])$ y campos ciclotómicos $\mathbb{Q}(\zeta_n)$.
• Criterio de Positividad: Utilizan el principio de inclusión-exclusión sobre la estructura del grupo $H \cap \Gamma_j$ (donde $\Gamma_j$ es el núcleo de la reducción módulo $j$) para demostrar que la suma alternada que define $C_{E,j}$ es no nula.
• Coincidencias: Analizan el fenómeno de "coincidencias" de campos de división, donde $\mathbb{Q}(E[j]) = \mathbb{Q}(E[jp])$ para algún primo $p$. Demuestran que estas coincidencias son la única causa conocida para que $C_{E,j} = 0$.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

A. Criterio General de Positividad (Teorema 3.2)
Los autores establecen un criterio suficiente para que $C_{E,j} > 0$ que generaliza resultados anteriores (como los de Kim [Kim15]).

• Condición: Sea $j \mid m_E$. Si se cumple que $\mathbb{Q}(E[j]) \cap \mathbb{Q}(\zeta_R) = \mathbb{Q}(\zeta_j)$ (donde $R$ es el producto de $j$ con los factores primos impares de $m_E/j$) y $\mathbb{Q}(E[2^{a+1}]) \neq \mathbb{Q}(E[2^a])$ (donde $a=v_2(j)$), entonces $C_{E,j} > 0$.
• Corolario 3.8 (Generalización de Kim): Si $\mathbb{Q}(E[2]) \neq \mathbb{Q}$ y $\gcd(j, 2A(E)) = 1$ (donde $A(E)$ es el producto de primos donde la representación $p$-ádica no es sobreyectiva), entonces $C_{E,j} > 0$. Esto elimina la restricción de que $j$ deba ser coprimo con el conductor $N_E$.

B. Caracterización de la Cero-Positividad (Coincidencias)

• Conjetura 2.6: Si $E$ es una curva sin multiplicación compleja (non-CM) y $C_{E,j} = 0$, entonces existe un primo $p$ tal que $\mathbb{Q}(E[j]) = \mathbb{Q}(E[jp])$.
• Conjetura 4.2: Para curvas non-CM sobre $\mathbb{Q}$, las coincidencias $p$ (donde $\mathbb{Q}(E[j]) = \mathbb{Q}(E[jp])$) solo ocurren para $p=2$ o $p=3$.
• Verificación Computacional: La Conjetura 2.6 y 4.2 se verifican para todas las curvas en la base de datos LMFDB (hasta conductor 500,000).

C. Construcción de Familias de Ejemplos
Los autores documentan familias infinitas de curvas elípticas donde ocurren estas coincidencias, demostrando que $C_{E,j}$ puede ser cero:

1. Campos de División Abelianos 2: Si $\mathbb{Q}(E[2])$ es una extensión abeliana de conductor impar $m$, entonces $\mathbb{Q}(E[m]) = \mathbb{Q}(E[2m])$.
2. Potencias de 2: Si el campo de división 2-ádico es abeliano y contiene raíces de la unidad adecuadas, se generan coincidencias como $\mathbb{Q}(E[2j]) = \mathbb{Q}(E[4j])$.
3. Torsión 3: Si $\mathbb{Q}(E[3]) = \mathbb{Q}(\zeta_3)$ y ciertas condiciones sobre el discriminante se cumplen, se obtienen coincidencias como $\mathbb{Q}(E[m]) = \mathbb{Q}(E[3m])$.

D. Corrección de la Literatura Existente

• El artículo identifica y corrige un error en la prueba de [CM04] sobre la positividad de $C_{E,1}$. El error original asumía incorrectamente que ciertos campos eran linealmente disjuntos. Los autores proveen una demostración rigurosa y alternativa (Corolario 3.4) que confirma que si $\mathbb{Q}(E[2]) \neq \mathbb{Q}$, entonces $C_{E,1} > 0$.

4. Significado e Impacto

• Resolución de un Problema Abierto: El trabajo proporciona una condición necesaria y suficiente (bajo GRH) para la existencia infinita de primos con un factor invariante dado, yendo más allá de los resultados condicionales previos que requerían que $j$ fuera coprimo con el conductor o el nivel adélico.
• Conexión Profunda entre Teoría de Grupos y Teoría de Números: Muestra cómo la estructura del grupo de Galois adélico (específicamente sus subgrupos y sus intersecciones con campos ciclotómicos) dicta la densidad de primos con propiedades aritméticas específicas.
• Clasificación de Fenómenos Exóticos: Identifica y clasifica las "coincidencias" de campos de división como la única obstrucción conocida a la positividad de la densidad. Esto conecta el problema con la teoría de entrelazamientos (entanglements) de campos de división.
• Herramientas Computacionales: La validación masiva en LMFDB y la provisión de algoritmos para verificar estas condiciones establecen un puente sólido entre la teoría abstracta y la verificación experimental en curvas elípticas.

En conclusión, Milner y Shotton no solo generalizan los resultados de Cojocaru y Kim, sino que ofrecen una comprensión estructural profunda de cuándo y por qué la densidad de primos con un factor invariante específico puede desvanecerse, vinculando este fenómeno a la geometría de los campos de división de la curva.