Lattice triangles whose centers are lattice points

1. Enunciato del Problema

L'articolo esamina l'intersezione tra geometria reticolare (geometria intera) e geometria euclidea. Nello specifico, affronta la seguente domanda:
Data una specifica tipologia di triangolo (acuto, ottusangolo o rettangolo) con vertici sul reticolo intero $\mathbb{Z}^2$, quali sono i possibili valori per il suo perimetro reticolare $\ell$ se uno dei suoi centri classici (Circocentro $F$, Baricentro $G$ o Ortocentro $H$) è anch'esso un punto reticolare?

Definizioni:

• Punto Reticolare: Un elemento di $\mathbb{Z}^2$.
• Lunghezza Reticolare: Per un segmento che collega due punti reticolari, la lunghezza reticolare è il numero di punti reticolari sul segmento meno uno.
• Perimetro Reticolare ($\ell$): La somma delle lunghezze reticolari dei lati del poligono. Questo equivale al numero totale di punti reticolari sul bordo del poligono.
• Centri:
  • $F$: Circocentro (intersezione degli assi).
  • $G$: Baricentro (intersezione delle mediane).
  • $H$: Ortocentro (intersezione delle altezze).

Gli autori si concentrano principalmente sui triangoli acuti, poiché le condizioni per i triangoli ottusangoli e rettangoli si dimostrano meno restrittive.

2. Metodologia

Gli autori impiegano una combinazione di argomenti di teoria dei numeri, costruzioni geometriche e analisi algebrica degli invarianti reticolari.

• Formule Algebriche: Utilizzano formule coordinate esplicite per $F$, $G$ e $H$ in termini delle coordinate dei vertici. Un'identità chiave utilizzata è la relazione della retta di Eulero: $2F + H = 3G$.
• Invarianti Reticolari:
  • Lemma 1: Stabilisce che per qualsiasi triangolo reticolare, il massimo comun divisore (MCD) di qualsiasi coppia di lunghezze dei lati è uguale al MCD di tutte e tre le lunghezze dei lati.
  • Lemma 2 e 3: Relazionano gli angoli del triangolo alle lunghezze reticolari dei segmenti che collegano i vertici all'ortocentro. Nello specifico, se $H$ è un punto reticolare, $\tan(\theta) = \ell_{\theta}/m$, dove $\ell_{\theta}$ è la lunghezza del lato opposto e $m$ è la lunghezza reticolare del segmento dal vertice a $H$.
  • Argomenti di Parità (Lemma 4 e Corollario 1): Analizzano la parità (pari/dispari) delle coordinate per determinare vincoli sul circocentro. Se $F$ è un punto reticolare, i vertici devono condividere proprietà di parità specifiche, costringendo il perimetro reticolare ad essere pari.
  • Aritmetica Modulare (Lemma 7): Se il baricentro $G$ è un punto reticolare e la lunghezza di un lato è un multiplo di 3, allora tutte le lunghezze dei lati devono essere multipli di 3.
• Dimostrazioni Costruttive: Per provare l'esistenza per $\ell$ validi, gli autori costruiscono esplicitamente triangoli con vertici $O(0,0)$, $A(z,0)$ e $B(x,y)$ che soddisfano le condizioni richieste.
• Dimostrazioni di Esclusione: Per provare la non-esistenza per $\ell$ invalidi, enumerano tutte le possibili partizioni intere di $\ell$ in tre lunghezze dei lati e dimostrano contraddizioni utilizzando i lemmi sopra citati (ad esempio, mostrando che un triangolo non può essere acuto o che la condizione del MCD fallisce).
• Verifica Numerica: Nella dimostrazione del Teorema 2, utilizzano calcoli numerici di somme di arcotangenti per mostrare che certe combinazioni di angoli non possono sommare a $\pi$ (180 gradi), escludendo così specifici perimetri reticolari.

3. Contributi e Risultati Chiave

L'articolo stabilisce condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di triangoli reticolari acuti con un centro reticolare per ciascuno dei tre centri classici.

A. L'Ortocentro ($H$)

• Teorema 1: Un triangolo reticolare acuto con perimetro reticolare $\ell$ e un ortocentro reticolare esiste se e solo se $\ell = 6$ o $\ell \geq 8$.
• Valori Esclusi: $\ell \in \{3, 4, 5, 7\}$.
• Osservazione: L'esclusione di piccoli interi come 7 è legata a una curiosità di teoria dei numeri riguardante la somma di tre interi a due a due coprimi.

B. Il Circocentro ($F$)

• Teorema 2: Un triangolo reticolare acuto con perimetro reticolare $\ell$ e un circocentro reticolare esiste se e solo se $\ell$ è pari e ($\ell = 8$ o $\ell \geq 12$).
• Valori Esclusi: Pari $\ell \in \{2, 4, 6, 10\}$.
• Vincolo: Il perimetro reticolare deve essere pari (conseguenza del Corollario 1). La condizione $\ell \neq 10$ è derivata da un'analisi complessa degli angoli che coinvolge arcotangenti.

C. Il Baricentro ($G$)

• Teorema 3: Un triangolo reticolare acuto con perimetro reticolare $\ell$ e un baricentro reticolare esiste se e solo se $\ell \geq 3$ e $\ell \notin \{5, 11\}$.
• Valori Esclusi: $\ell \in \{1, 2, 5, 11\}$.
• Osservazione: Le esclusioni di 5 e 11 sono legate a una proposizione di teoria dei numeri che coinvolge somme di interi coprimi a 3.

D. Centri Combinati

L'articolo analizza anche i casi in cui più centri sono punti reticolari:

• $G$ e $H$ sono punti reticolari: $\ell$ deve essere un multiplo di 3 e $\ell \geq 9$ (escludendo 3 e 6).
• $F, G, H$ sono punti reticolari: $\ell$ deve essere un multiplo di 6 e $\ell \geq 12$ (escludendo 6).
• Nota: Se $F$ è un punto reticolare, $H$ è automaticamente un punto reticolare (tramite la retta di Eulero).

E. Triangoli Ottusangoli e Rettangoli

Gli autori confrontano questi risultati con i triangoli non acuti:

• Ortocentro: Per triangoli ottusangoli/rettangoli, qualsiasi $\ell \geq 3$ è possibile.
• Circocentro: Per triangoli ottusangoli/rettangoli, qualsiasi pari $\ell \geq 4$ è possibile.
• Baricentro: La restrizione $\ell \notin \{5, 11\}$ vale per i triangoli ottusangoli, ma per i triangoli rettangoli $\ell$ deve essere un multiplo di 3 (e $\geq 9$).

4. Significato

• Collegamento tra Campi: L'articolo evidenzia la tensione tra i gruppi di trasformazione della geometria reticolare ($GL(2, \mathbb{Z})$) e della geometria euclidea ($O(2, \mathbb{R})$). Dimostra come vincoli geometrici elementari possano portare a restrizioni non banali di teoria dei numeri.
• Esclusioni Curiose: I risultati rivelano "lacune" nell'insieme dei possibili perimetri reticolari (ad esempio, perché 7 è impossibile per l'ortocentro, o perché 5 e 11 sono impossibili per il baricentro). Queste lacune non sono arbitrarie, ma derivano da proprietà profonde delle partizioni intere e della coprimalità.
• Problemi Aperti: L'articolo si conclude ponendo un problema aperto riguardante l'Incentro. Sebbene gli autori sospettino che esistano risultati simili, la complessità della formula dell'incentro (che coinvolge le lunghezze dei lati al denominatore) suggerisce che il problema potrebbe essere significativamente più difficile. Forniscono esempi in cui l'incentro è un punto reticolare ma il raggio inscritto è irrazionale, illustrando le sfide uniche di questo caso.

5. Conclusione

Aebi e Cairns forniscono una classificazione completa dei perimetri reticolari per i triangoli reticolari acuti con centri reticolari. Il loro lavoro trasforma una domanda geometrica in un problema di teoria dei numeri risolvibile, identificando valori precisi "vietati" per il perimetro e offrendo dimostrazioni costruttive per tutti i casi validi. I risultati sono riassunti nella Tabella 3 dell'articolo, che funge da riferimento completo per i perimetri reticolari raggiungibili sotto varie restrizioni di centro.