Lattice triangles whose centers are lattice points

1. Énoncé du problème

L'article examine l'intersection de la géométrie des réseaux (géométrie entière) et de la géométrie euclidienne. Plus précisément, il aborde la question suivante :
Étant donné un type spécifique de triangle (acutangle, obtusangle ou rectangle) dont les sommets appartiennent au réseau entier $\mathbb{Z}^2$, quelles sont les valeurs possibles de son périmètre réseau $\ell$ si l'un de ses centres classiques (Cercle circonscrit $F$, Centroïde $G$ ou Orthocentre $H$) est également un point du réseau ?

Définitions :

• Point du réseau : Un élément de $\mathbb{Z}^2$.
• Longueur réseau : Pour un segment reliant deux points du réseau, la longueur réseau est le nombre de points du réseau sur le segment moins un.
• Périmètre réseau ($\ell$) : La somme des longueurs réseau des côtés du polygone. Cela équivaut au nombre total de points du réseau sur la frontière du polygone.
• Centres :
  • $F$ : Centre du cercle circonscrit (intersection des médiatrices).
  • $G$ : Centroïde (intersection des médianes).
  • $H$ : Orthocentre (intersection des hauteurs).

Les auteurs se concentrent principalement sur les triangles acutangles, car les conditions pour les triangles obtusangles et rectangles s'avèrent moins restrictives.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une combinaison d'arguments théorico-numériques, de constructions géométriques et d'analyses algébriques des invariants de réseau.

• Formules algébriques : Ils exploitent des formules de coordonnées explicites pour $F$, $G$ et $H$ en fonction des coordonnées des sommets. Une identité clé utilisée est la relation de la droite d'Euler : $2F + H = 3G$.
• Invariants de réseau :
  • Lemme 1 : Établit que pour tout triangle du réseau, le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux longueurs de côtés quelconques est égal au PGCD des trois longueurs de côtés.
  • Lemmes 2 et 3 : Relient les angles du triangle aux longueurs réseau des segments reliant les sommets à l'orthocentre. Plus précisément, si $H$ est un point du réseau, $\tan(\theta) = \ell_{\theta}/m$, où $\ell_{\theta}$ est la longueur du côté opposé et $m$ est la longueur réseau du segment reliant le sommet à $H$.
  • Arguments de parité (Lemme 4 et Corollaire 1) : Analysent la parité (pair/impair) des coordonnées pour déterminer des contraintes sur le centre du cercle circonscrit. Si $F$ est un point du réseau, les sommets doivent partager des propriétés de parité spécifiques, ce qui force le périmètre réseau à être pair.
  • Arithmétique modulaire (Lemme 7) : Si le centroïde $G$ est un point du réseau et qu'une longueur de côté est un multiple de 3, alors toutes les longueurs de côtés doivent être des multiples de 3.
• Preuves constructives : Pour prouver l'existence de $\ell$ valides, les auteurs construisent explicitement des triangles dont les sommets sont $O(0,0)$, $A(z,0)$ et $B(x,y)$ satisfaisant les conditions requises.
• Preuves d'exclusion : Pour prouver la non-existence de $\ell$ invalides, ils énumèrent toutes les partitions entières possibles de $\ell$ en trois longueurs de côtés et démontrent des contradictions en utilisant les lemmes ci-dessus (par exemple, en montrant qu'un triangle ne peut pas être acutangle ou que la condition de PGCD échoue).
• Vérification numérique : Dans la preuve du Théorème 2, ils utilisent des calculs numériques de sommes d'arctangentes pour montrer que certaines combinaisons d'angles ne peuvent pas sommer à $\pi$ (180 degrés), éliminant ainsi certains périmètres réseau spécifiques.

3. Contributions et résultats clés

L'article établit des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de triangles acutangles du réseau avec un centre du réseau pour chacun des trois centres classiques.

A. L'orthocentre ($H$)

• Théorème 1 : Un triangle acutangle du réseau de périmètre réseau $\ell$ et d'orthocentre du réseau existe si et seulement si $\ell = 6$ ou $\ell \geq 8$.
• Valeurs exclues : $\ell \in \{3, 4, 5, 7\}$.
• Insight : L'exclusion de petits entiers comme 7 est liée à une curiosité théorico-numérique concernant la somme de trois entiers deux à deux premiers entre eux.

B. Le centre du cercle circonscrit ($F$)

• Théorème 2 : Un triangle acutangle du réseau de périmètre réseau $\ell$ et de centre du cercle circonscrit du réseau existe si et seulement si $\ell$ est pair et ($\ell = 8$ ou $\ell \geq 12$).
• Valeurs exclues : $\ell$ pairs $\in \{2, 4, 6, 10\}$.
• Contrainte : Le périmètre réseau doit être pair (une conséquence du Corollaire 1). La condition $\ell \neq 10$ est dérivée d'une analyse complexe d'angles impliquant des arctangentes.

C. Le centroïde ($G$)

• Théorème 3 : Un triangle acutangle du réseau de périmètre réseau $\ell$ et de centroïde du réseau existe si et seulement si $\ell \geq 3$ et $\ell \notin \{5, 11\}$.
• Valeurs exclues : $\ell \in \{1, 2, 5, 11\}$.
• Insight : Les exclusions de 5 et 11 sont liées à une proposition théorico-numérique impliquant des sommes d'entiers premiers avec 3.

D. Centres combinés

L'article analyse également les cas où plusieurs centres sont des points du réseau :

• $G$ et $H$ sont des points du réseau : $\ell$ doit être un multiple de 3 et $\ell \geq 9$ (en excluant 3 et 6).
• $F, G, H$ sont des points du réseau : $\ell$ doit être un multiple de 6 et $\ell \geq 12$ (en excluant 6).
• Note : Si $F$ est un point du réseau, $H$ est automatiquement un point du réseau (via la droite d'Euler).

E. Triangles obtusangles et rectangles

Les auteurs contrastent ces résultats avec les triangles non acutangles :

• Orthocentre : Pour les triangles obtusangles/rectangles, n'importe quel $\ell \geq 3$ est possible.
• Centre du cercle circonscrit : Pour les triangles obtusangles/rectangles, n'importe quel $\ell$ pair $\geq 4$ est possible.
• Centroïde : La restriction $\ell \notin \{5, 11\}$ vaut pour les triangles obtusangles, mais pour les triangles rectangles, $\ell$ doit être un multiple de 3 (et $\geq 9$).

4. Importance

• Pont entre les domaines : L'article met en évidence la tension entre les groupes de transformation de la géométrie des réseaux ($GL(2, \mathbb{Z})$) et de la géométrie euclidienne ($O(2, \mathbb{R})$). Il démontre comment des contraintes géométriques élémentaires peuvent conduire à des restrictions théorico-numériques non triviales.
• Exclusions curieuses : Les résultats révèlent des « lacunes » dans l'ensemble des périmètres réseau possibles (par exemple, pourquoi 7 est impossible pour l'orthocentre, ou pourquoi 5 et 11 sont impossibles pour le centroïde). Ces lacunes ne sont pas arbitraires mais découlent de propriétés profondes des partitions d'entiers et de la primalité.
• Problèmes ouverts : L'article se termine en posant un problème ouvert concernant le centre du cercle inscrit. Bien que les auteurs soupçonnent l'existence de résultats similaires, la complexité de la formule du centre du cercle inscrit (impliquant les longueurs de côtés au dénominateur) suggère que le problème pourrait être considérablement plus difficile. Ils fournissent des exemples où le centre du cercle inscrit est un point du réseau mais où le rayon inscrit est irrationnel, illustrant les défis uniques de ce cas.

5. Conclusion

Aebi et Cairns fournissent une classification complète des périmètres réseau pour les triangles acutangles du réseau possédant des centres du réseau. Leur travail transforme une question géométrique en un problème théorico-numérique résoluble, identifiant des valeurs « interdites » précises pour le périmètre et offrant des preuves constructives pour tous les cas valides. Les résultats sont résumés dans le Tableau 3 de l'article, qui sert de référence complète pour les périmètres réseau réalisables sous diverses contraintes de centres.