On three-dimensional flows of thermo-viscoelastic fluids of Giesekus type

1. Enunciato del Problema

Il lavoro affronta l'analisi matematica del flusso di un fluido incomprimibile, conduttore di calore e viscoelastico di tipo Giesekus in un dominio tridimensionale limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ su un intervallo di tempo $(0, T)$.

Il sistema accoppia la conservazione della massa, la quantità di moto lineare, l'energia interna e l'evoluzione dello sforzo elastico (rappresentato dal tensore di Cauchy–Green sinistro $B$ o dal gradiente di deformazione $F$). Le equazioni governative sono:

• Incomprimibilità: $\text{div } v = 0$.
• Bilanciamento della Quantità di Moto: $\rho \partial_t v + \rho \text{div}(v \otimes v) - \text{div } T = \rho f$.
• Evoluzione dello Sforzo: Un'equazione di evoluzione per il tensore $B$ (o $F$) che coinvolge la derivata di Oldroyd convettiva superiore e un termine dissipativo specifico del modello Giesekus.
• Bilanciamento dell'Energia Interna: $\rho \partial_t e + \rho \text{div}(ev) + \text{div } q - T : D = 0$.

Caratteristiche Chiave del Modello:

• Dipendenza dalla Temperatura: Tutti i parametri materiali (viscosità $\nu$, tempo di rilassamento $\tau$, conducibilità termica $\kappa$ e la funzione del modulo elastico $g$) dipendono dalla temperatura $\theta$.
• Dissipazione Giesekus: Il modello include un termine dissipativo non lineare nell'evoluzione dello sforzo, distinguendosi dal modello Oldroyd-B.
• Condizioni al Contorno: Condizioni di scorrimento di Navier per la velocità ($v \cdot n = 0, (Tn)_\tau = -\gamma^* v_\tau$) e flusso di calore nullo ($\nabla \theta \cdot n = 0$).
• Dati Iniziali: Si considerano dati grandi, il che significa che non vengono imposte assunzioni di piccolezza sulla velocità iniziale, sulla temperatura o sul gradiente di deformazione.

2. Metodologia

Gli autori impiegano un sofisticato quadro debole-forte combinato con strumenti avanzati di compattezza per gestire le forti non linearità e la mancanza di regolarità nelle soluzioni.

A. Coerenza Termodinamica e Riformulazione

• Entropia ed Energia: Gli autori derivano il sistema da un quadro termodinamicamente coerente utilizzando l'energia libera di Helmholtz. Sostituiscono l'equazione dell'energia interna con una disuguaglianza di entropia e una disuguaglianza dell'energia totale. Questo approccio è cruciale perché la pressione $p$ potrebbe non essere ben definita nel senso debole per certe condizioni al contorno, mentre la disuguaglianza energetica rimane valida.
• Trasformazione delle Variabili: Per gestire l'equazione di evoluzione per $B$, che contiene termini non sotto derivate (rendendo difficile l'identificazione del limite), gli autori introducono una variabile $F$ tale che $B = FF^T$. Riformulano l'equazione di evoluzione dello sforzo in termini di $F$ (un'equazione di tipo trasporto-diffusione), seguendo la strategia di Masmoudi. Ciò permette un migliore controllo dei termini non lineari.

B. Schema di Approssimazione

La prova di esistenza si basa su una procedura di approssimazione multistep che coinvolge:

1. Approssimazione di Galerkin: Proiezione della velocità, del gradiente di deformazione e dell'energia interna su sottospazi a dimensione finita.
2. Regolarizzazione: Introduzione di termini di diffusione artificiale ($\varepsilon_4 \Delta F$, $\varepsilon_7 \Delta e$) e funzioni di taglio ($\Lambda_{\varepsilon_3}$, $g_{\varepsilon_1}$) per garantire l'esistenza di soluzioni approssimate lisce.
3. Limiti Iterativi: Gli autori passano al limite in una specifica sequenza di parametri ($m, n, l \to \infty$ per gli indici di Galerkin, seguito da $\varepsilon_7, \varepsilon_4, \varepsilon_2, \varepsilon_1, \varepsilon_5, \varepsilon_6, \varepsilon_3 \to 0$).

C. Strumenti di Compattezza e Convergenza

Il cuore dell'analisi risiede nell'instaurare la convergenza forte della temperatura $\theta$ e del gradiente di deformazione $F$, necessaria per passare al limite nelle relazioni costitutive non lineari.

• Convergenza della Temperatura: Gli autori utilizzano il Lemma Div-Curl (Murat-Tartar) combinato con l'equazione dell'entropia. Costruendo funzioni di prova specifiche che coinvolgono l'entropia $\eta$ e la temperatura, dimostrano che una sottom successione di temperature converge quasi ovunque.
• Convergenza del Gradiente di Deformazione: Adattano la tecnica di rinormalizzazione (DiPerna-Lions) e una specifica disuguaglianza di tipo Gronwall per la quantità $|F|^2 - |F|^2$ (dove $F$ è il limite). Ciò comporta la suddivisione del campo di velocità in una parte "tipo Stokes" e un resto per gestire i termini convettivi, dimostrando infine la convergenza forte di $F$ in $L^2$.
• Limiti di Morsicatura (Biting Limits): Il lemma di morsicatura di Chacon viene utilizzato per gestire la convergenza debole negli spazi $L^1$ per quantità come i termini di dissipazione.

3. Contributi Chiave

1. Esistenza Globale nel Tempo per Dati Grandi: Il lavoro stabilisce l'esistenza di una soluzione debole globale per il modello completo Giesekus 3D con dipendenza dalla temperatura, senza richiedere:
   • Piccolezza dei dati iniziali.
   • Diffusione artificiale dello sforzo (una regolarizzazione comune nella letteratura precedente).
   • Assunzioni di crescita non fisiche sui parametri materiali (ad esempio, la conducibilità termica è ammessa limitata, a differenza di lavori precedenti che richiedevano una crescita polinomiale).
2. Soluzione Debole Termodinamicamente Coerente: La soluzione è definita in un senso "debole dissipativo", soddisfacendo la disuguaglianza dell'energia totale e la disuguaglianza dell'entropia. Ciò garantisce che la soluzione rispetti la seconda legge della termodinamica.
3. Gestione della Non Linearità Giesekus: Gli autori trattano con successo il termine di dissipazione non lineare specifico del modello Giesekus ($\alpha(B-I)$ e $\tau(B^2-B)$) in presenza di accoppiamento termico, un problema che rimaneva aperto per dati grandi in 3D.
4. Parametri Materiali Generali: Il risultato vale per una vasta classe di funzioni materiali continue (viscosità, tempo di rilassamento, ecc.) che soddisfano solo condizioni naturali di limitatezza e monotonia, rendendo il modello applicabile a un'ampia gamma di scenari fisici.

4. Risultati Principali

Teorema: Sotto l'assunzione che il dominio $\Omega$ sia Lipschitziano e che i dati iniziali $(v_0, F_0, \theta_0)$ appartengano agli spazi funzionali naturali energia-entropia (specificamente $v_0 \in L^2$, $F_0 \in L^2$, $\theta_0 \in L^1$ con $\det F_0 > 0$), esiste una soluzione debole dissipativa globale nel tempo $(v, \theta, F)$ per il sistema.

La soluzione soddisfa:

• Stabilità Sequenziale Debole: La soluzione è stabile sotto limiti di successioni approssimanti.
• Disuguaglianza Energetica: L'energia totale (cinetica + interna) soddisfa una disuguaglianza differenziale che tiene conto della dissipazione al contorno.
• Disuguaglianza Entropica: La produzione di entropia è non negativa, soddisfacendo la seconda legge della termodinamica.
• Regolarità: La soluzione possiede specifiche proprietà di regolarità, incluse $v \in L^\infty(0,T; L^2) \cap L^2(0,T; W^{1,2})$, $\theta \in L^\infty(0,T; L^1) \cap L^{5/3}(Q_T)$ e $F \in L^\infty(0,T; L^2) \cap L^4(Q_T)$.

5. Significato

Questo lavoro rappresenta una svolta significativa nella teoria matematica dei fluidi complessi. In precedenza, i risultati di esistenza globale per fluidi viscoelastici conduttori di calore si basavano spesso su:

• Modelli semplificati (ad esempio, Oldroyd-B con diffusione dello sforzo).
• Assunzioni di dati piccoli.
• Contesti bidimensionali.
• Assunzioni non fisiche sulla crescita della conducibilità termica.

Rimuovendo queste restrizioni, Bulíček, Los e Woźnicki forniscono una base rigorosa per la modellazione di flussi realistici, su larga scala e tridimensionali di materiali complessi (come polimeri e fluidi biologici) in cui gli effetti termici e gli sforzi elastici sono fortemente accoppiati. La metodologia sviluppata, in particolare la combinazione di compattezza basata sull'entropia e il trattamento specifico della non linearità Giesekus senza diffusione artificiale, stabilisce un nuovo standard per l'analisi dei fluidi viscoelastici di tipo rate.