On three-dimensional flows of thermo-viscoelastic fluids of Giesekus type

1. Formulação do Problema

O artigo aborda a análise matemática do escoamento de um fluido viscoelástico incompressível, condutor de calor do tipo Giesekus em um domínio limitado tridimensional $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ ao longo de um intervalo de tempo $(0, T)$.

O sistema acopla a conservação de massa, momento linear, energia interna e a evolução da tensão elástica (representada pelo tensor de Cauchy–Green esquerdo $B$ ou pelo gradiente de deformação $F$). As equações governantes são:

• Incompressibilidade: $\text{div } v = 0$.
• Equilíbrio de Momento: $\rho \partial_t v + \rho \text{div}(v \otimes v) - \text{div } T = \rho f$.
• Evolução da Tensão: Uma equação de evolução para o tensor $B$ (ou $F$) envolvendo a derivada convectiva superior de Oldroyd e um termo dissipativo específico do modelo Giesekus.
• Equilíbrio de Energia Interna: $\rho \partial_t e + \rho \text{div}(ev) + \text{div } q - T : D = 0$.

Características Principais do Modelo:

• Dependência da Temperatura: Todos os parâmetros materiais (viscosidade $\nu$, tempo de relaxação $\tau$, condutividade térmica $\kappa$ e a função do módulo elástico $g$) dependem da temperatura $\theta$.
• Dissipação Giesekus: O modelo inclui um termo dissipativo não linear na evolução da tensão, distinguindo-o do modelo Oldroyd-B.
• Condições de Contorno: Condições de deslizamento de Navier para a velocidade ($v \cdot n = 0, (Tn)_\tau = -\gamma^* v_\tau$) e fluxo de calor nulo ($\nabla \theta \cdot n = 0$).
• Dados Iniciais: Consideram-se dados grandes, o que significa que não são impostas suposições de pequenez na velocidade inicial, temperatura ou gradiente de deformação.

2. Metodologia

Os autores empregam uma estrutura sofisticada fraca-forte combinada com ferramentas avançadas de compacidade para lidar com as fortes não linearidades e a falta de regularidade nas soluções.

A. Consistência Termodinâmica e Reformulação

• Entropia e Energia: Os autores derivam o sistema a partir de um quadro termodinamicamente consistente usando a energia livre de Helmholtz. Eles substituem a equação de energia interna por uma desigualdade de entropia e uma desigualdade de energia total. Essa abordagem é crucial porque a pressão $p$ pode não ser bem definida no sentido fraco para certas condições de contorno, mas a desigualdade de energia permanece válida.
• Transformação de Variáveis: Para lidar com a equação de evolução de $B$, que contém termos não sob derivadas (tornando difícil a identificação do limite), os autores introduzem uma variável $F$ tal que $B = FF^T$. Eles reformulam a equação de evolução da tensão em termos de $F$ (uma equação do tipo transporte-difusão), seguindo a estratégia de Masmoudi. Isso permite um melhor controle dos termos não lineares.

B. Esquema de Aproximação

A prova de existência baseia-se em um procedimento de aproximação multi-etapa envolvendo:

1. Aproximação de Galerkin: Projeção da velocidade, gradiente de deformação e energia interna em subespaços de dimensão finita.
2. Regularização: Introdução de termos de difusão artificial ($\varepsilon_4 \Delta F$, $\varepsilon_7 \Delta e$) e funções de corte ($\Lambda_{\varepsilon_3}$, $g_{\varepsilon_1}$) para garantir a existência de soluções aproximadas suaves.
3. Limites Iterativos: Os autores passam ao limite em uma sequência específica de parâmetros ($m, n, l \to \infty$ para os índices de Galerkin, seguido por $\varepsilon_7, \varepsilon_4, \varepsilon_2, \varepsilon_1, \varepsilon_5, \varepsilon_6, \varepsilon_3 \to 0$).

C. Ferramentas de Compacidade e Convergência

O núcleo da análise reside em estabelecer a convergência forte da temperatura $\theta$ e do gradiente de deformação $F$, o que é necessário para passar ao limite nas relações constitutivas não lineares.

• Convergência da Temperatura: Os autores utilizam o Lema Div-Curl (Murat-Tartar) combinado com a equação de entropia. Ao construir funções teste específicas envolvendo a entropia $\eta$ e a temperatura, eles provam que uma subsequência de temperaturas converge quase em toda parte.
• Convergência do Gradiente de Deformação: Eles adaptam a técnica de renormalização (DiPerna-Lions) e uma desigualdade específica do tipo Gronwall para a quantidade $|F|^2 - |F|^2$ (onde $F$ é o limite). Isso envolve dividir o campo de velocidade em uma parte "tipo Stokes" e um resíduo para lidar com os termos convectivos, provando finalmente a convergência forte de $F$ em $L^2$.
• Limites de Mordida (Biting Limits): O lema de mordida de Chacon é utilizado para lidar com a convergência fraca em espaços $L^1$ para quantidades como os termos de dissipação.

3. Contribuições Principais

1. Existência Global no Tempo para Dados Grandes: O artigo estabelece a existência de uma solução fraca global para o modelo completo 3D de Giesekus com dependência da temperatura, sem exigir:
   • Pequenez dos dados iniciais.
   • Difusão artificial de tensão (uma regularização comum na literatura anterior).
   • Suposições de crescimento não físico sobre parâmetros materiais (por exemplo, a condutividade térmica é permitida ser limitada, ao contrário de trabalhos anteriores que exigiam crescimento polinomial).
2. Solução Fraca Termodinamicamente Consistente: A solução é definida no sentido "fraco dissipativo", satisfazendo a desigualdade de energia total e a desigualdade de entropia. Isso garante que a solução respeite a segunda lei da termodinâmica.
3. Tratamento da Não Linearidade Giesekus: Os autores tratam com sucesso o termo de dissipação não linear específico do modelo Giesekus ($\alpha(B-I)$ e $\tau(B^2-B)$) na presença de acoplamento térmico, um problema que permanecia em aberto para dados grandes em 3D.
4. Parâmetros Materiais Gerais: O resultado vale para uma ampla classe de funções materiais contínuas (viscosidade, tempo de relaxação, etc.) satisfazendo apenas condições naturais de limitação e monotonicidade, tornando o modelo aplicável a uma vasta gama de cenários físicos.

4. Resultados Principais

Teorema: Sob a suposição de que o domínio $\Omega$ é Lipschitz e os dados iniciais $(v_0, F_0, \theta_0)$ pertencem aos espaços funcionais naturais de energia-entropia (especificamente $v_0 \in L^2$, $F_0 \in L^2$, $\theta_0 \in L^1$ com $\det F_0 > 0$), existe uma solução fraca dissipativa global no tempo $(v, \theta, F)$ para o sistema.

A solução satisfaz:

• Estabilidade Sequencial Fraca: A solução é estável sob limites de sequências aproximantes.
• Desigualdade de Energia: A energia total (cinética + interna) satisfaz uma desigualdade diferencial que contabiliza a dissipação de contorno.
• Desigualdade de Entropia: A produção de entropia é não negativa, satisfazendo a segunda lei da termodinâmica.
• Regularidade: A solução possui propriedades específicas de regularidade, incluindo $v \in L^\infty(0,T; L^2) \cap L^2(0,T; W^{1,2})$, $\theta \in L^\infty(0,T; L^1) \cap L^{5/3}(Q_T)$ e $F \in L^\infty(0,T; L^2) \cap L^4(Q_T)$.

5. Significado

Este trabalho representa um avanço significativo na teoria matemática de fluidos complexos. Antes disso, resultados de existência global para fluidos viscoelásticos condutores de calor frequentemente dependiam de:

• Modelos simplificados (por exemplo, Oldroyd-B com difusão de tensão).
• Suposições de dados pequenos.
• Cenários bidimensionais.
• Suposições não físicas sobre o crescimento da condutividade térmica.

Ao remover essas restrições, Bulíček, Los e Woźnicki fornecem uma base rigorosa para modelar escoamentos realistas, de grande escala e tridimensionais de materiais complexos (como polímeros e fluidos biológicos) onde efeitos térmicos e tensões elásticas estão fortemente acoplados. A metodologia desenvolvida, particularmente a combinação de compacidade baseada em entropia e o tratamento específico da não linearidade Giesekus sem difusão artificial, estabelece um novo padrão para a análise de fluidos viscoelásticos do tipo taxa.