Projective connections on super Heisenberg coinvariants. I

Sintesi Tecnica: Connessioni Proiettive su Coinvarianti di Heisenberg Super. I

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta la costruzione e la comprensione delle connessioni proiettive sui fasci di coinvarianti derivati associati a moduli su algebre di Heisenberg super. Mentre l'approccio tradizionale alla definizione di connessioni proiettive sui fasci di coinvarianti (in particolare nel contesto dei blocchi conformi sugli spazi di moduli di curve e supercurve) si basa sulle algebre di vertice, gli autori mirano a fornire una costruzione più semplice e naturale. Tale costruzione utilizza esclusivamente fasci simplittici e di Heisenberg di dimensione finita derivati da dati locali vicino ai punti di punteggiatura. L'obiettivo primario è stabilire il quadro astratto sottostante per queste connessioni proiettive, che sarà successivamente applicato ai coinvarianti di Heisenberg (super) sugli spazi di moduli di curve (SUSY) e sui sistemi $bc/\beta\gamma$.

Metodologia
Gli autori adottano un approccio geometrico e algebrico incentrato sullo studio dei coinvarianti derivati di fibrati isotropi all'interno di fasci di algebre di Lie (super) di Heisenberg. La metodologia procede attraverso diverse fasi chiave:

1. Analisi dei Coinvarianti Derivati: Il lavoro stabilisce innanzitutto risultati generali riguardanti i coinvarianti derivati $C_I(M)$ per un modulo $M$ su un fascio di algebre di Heisenberg $H$ e un fibrato isotropo $I \subset H$. Ciò comporta l'analisi del comportamento di tali coinvarianti sotto riduzione isotropa e della loro relazione con i fasci di Bereziniano.
2. Costruzione di Algebroidi di Lie: Un'innovazione metodologica centrale è la costruzione di un algebroid di Lie transitivo, denotato $A_I$, che agisce sui fasci di coinvarianti derivati. Gli autori forniscono due distinte costruzioni per questo algebroid:
   • Come sotalgebroid di Lie all'interno dell'algebroid di Lie delle simmetrie infinitesime del modulo di Fock destro $M^r(I)$.
   • Come pullback di un algebroid di Lie universale definito sulla Grassmanniana isotropa.
   • La costruzione è generalizzata ai casi in cui il fascio di Heisenberg $H$ non è costante ma è dotato di una connessione piatta.
3. Algebroidi di Picard e Connessioni: Gli autori investigano le condizioni sotto le quali $A_I$ si riduce a un algebroid di Picard (un algebroid di Lie transitivo con nucleo identificato con il fascio strutturale $\mathcal{O}$). Ciò avviene specificamente quando $I$ è un fibrato lagrangiano o quando l'algebra di Heisenberg ridotta $H_I$ è dotata di una connessione piatta. In questi casi, i coinvarianti derivati acquisiscono connessioni proiettive naturali.
4. Strutture Equivarianti: Il lavoro sviluppa un quadro per dotare questi algebroidi di Lie di dati equivarianti rispetto all'azione di un gruppo (super), il che è cruciale per le applicazioni agli spazi di moduli dove i parametri formali nei punti marcati devono essere eliminati.

Contributi e Risultati Chiave

• Costruzione Astratta di Connessioni Proiettive: Il lavoro presenta una costruzione di connessioni proiettive che bypassa le algebre di vertice, affidandosi invece alla geometria simplittica di dimensione finita e ai fasci di Heisenberg.
• Algebroidi di Lie Transitivi ($A_I$): Gli autori definiscono e caratterizzano l'algebroid di Lie transitivo $A_I$ che agisce sui coinvarianti derivati. Dimostrano che per un fibrato lagrangiano $L$, $A_L$ è un algebroid di Picard, dotando così i coinvarianti derivati $C_L(M)$ di connessioni proiettive.
• Riduzione Isotropa e Compatibilità: Il lavoro stabilisce risultati di compatibilità tra coinvarianti derivati e riduzione isotropa (Teorema 2.4, Proposizione 3.16). Mostra che, sotto specifiche condizioni di trasversalità, i coinvarianti derivati sono concentrati in un singolo grado e isomorfi a un fascio di Bereziniano (Teorema 2.2, Corollario 2.3).
• Relazione con i Fasci di Bereziniano: Nel caso lagrangiano, gli autori collegano l'algebroid di Lie $A_L$ all'algebroid di Atiyà della radice quadrata del fascio di Bereziniano $\text{Ber}(L)$ (Teorema 3.17). Questo risultato si basa crucialmente sull'uso dei coinvarianti derivati.
• Pfaffiano Generalizzato: Nel caso di fasci simplittici puramente dispari, gli autori derivano una generalizzazione del Pfaffiano (Proposizione 2.20), che emerge naturalmente dallo studio dei coinvarianti in intersezioni puramente dispari.
• Criterio di Annullamento: Un risultato significativo è un criterio generale per l'annullamento dei coinvarianti derivati superiori $C_{L_1}(M(L_2))$ per una coppia di fibrati lagrangiani. Tale annullamento si verifica sotto specifiche condizioni di codimensione sui luoghi in cui variano le dimensioni delle intersezioni dei lagrangiani (Teorema 3.27). Ciò è dimostrato utilizzando l'olonomicità dei coinvarianti visti come $\mathcal{D}$-moduli twistati.
• Calcoli Espliciti: Il lavoro include calcoli espliciti della classe dell'algebroid di Picard sulla Grassmanniana lagrangiana per un'algebra di Heisenberg tridimensionale (Appendice A) e formule per Pfaffiani generalizzati (Appendice B).

Significato e Affermazioni
Gli autori affermano che questo lavoro fornisce la "costruzione astratta sottostante" delle connessioni proiettive sui coinvarianti di Heisenberg super. Dimostrando che queste connessioni derivano da fasci simplittici e di Heisenberg di dimensione finita, il lavoro offre un'alternativa più diretta all'approccio basato sulle algebre di vertice.

Il significato dei risultati è duplice:

1. Unificazione Teorica: Unifica lo studio dei coinvarianti, della riduzione isotropa e delle connessioni proiettive sotto il quadro degli algebroidi di Lie transitivi.
2. Fondamentale per Applicazioni Future: Il lavoro afferma esplicitamente che questi risultati sono fondamentali per un seguito. Il seguito applicherà questa teoria ai fasci di coinvarianti di Heisenberg (super) sugli spazi di moduli di curve (SUSY) e ai sistemi $bc/\beta\gamma$. Nello specifico, le strutture equivarianti sviluppate qui sono intese a risolvere questioni relative alla scelta dei parametri formali nei punti marcati nei problemi di moduli.

Il lavoro non afferma di risolvere direttamente i problemi di moduli, ma piuttosto di fornire la necessaria macchina algebrica e geometrica (gli algebroidi di Lie e le loro azioni) richiesta per definire e studiare le connessioni proiettive in tali contesti. Il criterio di annullamento per i coinvarianti derivati superiori è presentato come uno strumento generale applicabile a coppie di fibrati lagrangiani, con l'applicazione specifica agli spazi di moduli riservata a lavori futuri.