Projective connections on super Heisenberg coinvariants. I

Resumen Técnico: Conexiones Proyectivas en Coinvariantes Super Heisenberg. I

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la construcción y comprensión de conexiones proyectivas en haces de coinvariantes derivados asociados a módulos sobre álgebras super Heisenberg. Mientras que el enfoque tradicional para definir conexiones proyectivas en haces de coinvariantes (específicamente en el contexto de bloques conformes sobre espacios de móduli de curvas y supercurvas) se basa en álgebras de vértice, los autores buscan proporcionar una construcción más simple y natural. Esta construcción utiliza únicamente haces simplécticos y Heisenberg de dimensión finita derivados de datos locales cerca de puntos punteados. El objetivo principal es establecer el marco abstracto subyacente para estas conexiones proyectivas, que posteriormente se aplicará a coinvariantes (super) Heisenberg en espacios de móduli de curvas (SUSY) y sistemas $bc/\beta\gamma$.

Metodología
Los autores emplean un enfoque geométrico y algebraico centrado en el estudio de coinvariantes derivados de subhaces isotrópicos dentro de haces de álgebras de Lie (super) Heisenberg. La metodología procede a través de varias etapas clave:

1. Análisis de Coinvariantes Derivados: El artículo establece primero resultados generales sobre las coinvariantes derivadas $C_I(M)$ para un módulo $M$ sobre un haz de álgebra Heisenberg $H$ y un subhaz isotrópico $I \subset H$. Esto implica analizar el comportamiento de estas coinvariantes bajo reducción isotrópica y su relación con haces Berezinian.
2. Construcción de Algebroides de Lie: Una innovación metodológica central es la construcción de un algebroide de Lie transitivo, denotado $A_I$, que actúa sobre los haces de coinvariantes derivados. Los autores proporcionan dos construcciones distintas para este algebroide:
   • Como un subalgebroide de Lie dentro del algebroide de Lie de simetrías infinitesimales del módulo de Fock derecho $M^r(I)$.
   • Como un pullback de un algebroide de Lie universal definido sobre la Grassmanniana isotrópica.
   • La construcción se generaliza a casos donde el haz Heisenberg $H$ no es constante sino que está equipado con una conexión plana.
3. Algebroides de Picard y Conexiones: Los autores investigan las condiciones bajo las cuales $A_I$ se reduce a un algebroide de Picard (un algebroide de Lie transitivo con núcleo identificado con el haz estructural $\mathcal{O}$). Esto ocurre específicamente cuando $I$ es un subhaz lagrangiano o cuando el álgebra Heisenberg reducida $H_I$ está equipada con una conexión plana. En estos casos, las coinvariantes derivadas adquieren conexiones proyectivas naturales.
4. Estructuras Equivariantes: El artículo desarrolla un marco para equipar estos algebroides de Lie con datos equivariantes relativos a la acción de un grupo (super), lo cual es crucial para aplicaciones en espacios de móduli donde deben eliminarse los parámetros formales en puntos marcados.

Contribuciones y Resultados Clave

• Construcción Abstracta de Conexiones Proyectivas: El artículo presenta una construcción de conexiones proyectivas que elude las álgebras de vértice, basándose en su lugar en geometría simpléctica de dimensión finita y haces Heisenberg.
• Algebroides de Lie Transitivos ($A_I$): Los autores definen y caracterizan el algebroide de Lie transitivo $A_I$ que actúa sobre coinvariantes derivados. Demuestran que para un subhaz lagrangiano $L$, $A_L$ es un algebroide de Picard, dotando así a las coinvariantes derivadas $C_L(M)$ de conexiones proyectivas.
• Reducción Isotrópica y Compatibilidad: El artículo establece resultados de compatibilidad entre coinvariantes derivadas y reducción isotrópica (Teorema 2.4, Proposición 3.16). Muestra que bajo condiciones específicas de transversalidad, las coinvariantes derivadas se concentran en un solo grado y son isomorfas a un haz Berezinian (Teorema 2.2, Corolario 2.3).
• Relación con Haces Berezinian: En el caso lagrangiano, los autores conectan el algebroide de Lie $A_L$ con el algebroide de Atiyá de la raíz cuadrada del haz Berezinian $\text{Ber}(L)$ (Teorema 3.17). Este resultado depende crucialmente del uso de coinvariantes derivadas.
• Pfaffiano Generalizado: En el caso de haces simplécticos puramente impares, los autores derivan una generalización del Pfaffiano (Proposición 2.20), que surge naturalmente del estudio de coinvariantes en intersecciones puramente impares.
• Criterio de Anulación: Un resultado significativo es un criterio general para la anulación de coinvariantes derivadas superiores $C_{L_1}(M(L_2))$ para un par de subhaces lagrangianos. Esta anulación ocurre bajo condiciones específicas de codimensión en los lugares donde varían las dimensiones de intersección de los lagrangianos (Teorema 3.27). Esto se demuestra utilizando la holonomía de las coinvariantes vistas como módulos $\mathcal{D}$ torcidos.
• Cálculos Explícitos: El artículo incluye cálculos explícitos de la clase del algebroide de Picard sobre la Grassmanniana lagrangiana para un álgebra Heisenberg de 3 dimensiones (Apéndice A) y fórmulas para Pfaffianos generalizados (Apéndice B).

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que este trabajo proporciona la "construcción abstracta subyacente" de conexiones proyectivas en coinvariantes super Heisenberg. Al demostrar que estas conexiones surgen de haces simplécticos y Heisenberg de dimensión finita, el artículo ofrece una alternativa más directa al enfoque de álgebras de vértice.

El significado de los resultados es doble:

1. Unificación Teórica: Unifica el estudio de coinvariantes, reducción isotrópica y conexiones proyectivas bajo el marco de algebroides de Lie transitivos.
2. Fundamento para Aplicaciones Futuras: El artículo establece explícitamente que estos resultados son fundamentales para una secuela. La secuela aplicará esta teoría a haces de coinvariantes (super) Heisenberg en los espacios de móduli de curvas (SUSY) y a sistemas $bc/\beta\gamma$. Específicamente, las estructuras equivariantes desarrolladas aquí pretenden resolver problemas relacionados con la elección de parámetros formales en puntos marcados en problemas de móduli.

El artículo no afirma resolver directamente los problemas de móduli, sino proporcionar la maquinaria algebraica y geométrica necesaria (los algebroides de Lie y sus acciones) requerida para definir y estudiar las conexiones proyectivas en esos contextos. El criterio de anulación para coinvariantes derivadas superiores se presenta como una herramienta general aplicable a pares de subhaces lagrangianos, con la aplicación específica a espacios de móduli reservada para trabajo futuro.