No measurement induced phase transition in the entanglement dynamics of monitored non-interacting one-dimensional fermions in a disordered or quasiperiodic potential

Sintesi Tecnica: Assenza di Transizione di Fase Indotta da Misurazione in Fermioni 1D Non Interagenti Monitorati con Disordine

Enunciato del Problema
Il lavoro indaga la dinamica dell'entanglement di fermioni unidimensionali (1D) non interagenti con simmetria $U(1)$ (fermioni di Dirac) soggetti a monitoraggio continuo in presenza di un potenziale disordinato o quasiperiodico. Sebbene la letteratura recente suggerisca che tali sistemi subiscano una Transizione di Fase Indotta da Misurazione (MIPT) da una fase di entanglement a legge di volume a una fase a legge di area a una forza critica di monitoraggio finita, questo lavoro contesta tali risultati. La domanda centrale è se l'introduzione di disordine o quasiperiodicità, che altera la dinamica del sistema pulito, induca una MIPT o se il sistema rimanga in una fase a legge di area per qualsiasi forza di monitoraggio finita, in accordo con il limite pulito.

Metodologia
Gli autori adottano un approccio duale che combina simulazioni numeriche su larga scala e teoria di campo analitica:

1. Simulazioni Numeriche:

   • Modelli: Lo studio considera una catena di fermioni liberi 1D con potenziali sul sito $V_i$. Vengono analizzati due tipi di potenziale: (i) Disordine casuale (distribuzione uniforme) e (ii) Potenziale quasiperiodico (modello di Aubry-André con frequenza legata al rapporto aureo).
   • Protocolli: Vengono implementati due schemi di monitoraggio: Misure Proiettive (PM) per il caso quasiperiodico e Diffusione dello Stato Quantistico (QSD) per il caso disordinato. Entrambi monitorano il numero di occupazione locale $n_i$.
   • Osservabili: L'entropia di entanglement (EE) è calcolata tramite la matrice di correlazione $D_{ij}(t)$. Per evitare colli di bottiglia nel calcolo diretto dell'EE, gli autori utilizzano lo sviluppo in cumulanti, concentrandosi sul secondo cumulante proporzionale alla funzione di correlazione densità-densità $C(r, t)$. La lunghezza di correlazione $l_{cor}$ è estratta dal decadimento esponenziale di $C(r)$.
   • Scala e Hardware: Un aspetto critico della metodologia è la dimensione del sistema. Studi precedenti erano limitati a $L \sim 500$. Questo lavoro utilizza le Unità di Elaborazione Grafica (GPU) per simulare sistemi fino a $L \le 18.000$. Questa scala è necessaria perché la lunghezza di correlazione nel limite di monitoraggio debole ($\gamma \to 0$) cresce esponenzialmente, e studi precedenti hanno probabilmente osservato una regione "critica" semplicemente perché $L < l_{cor}$.
   • Analisi: Viene eseguita una scalatura di dimensione finita adattando la $l_{cor}$ estratta all'ansatz $l_{cor} \sim \exp(a/|\gamma - \gamma_c|)$ per determinare la forza critica di monitoraggio $\gamma_c$.

2. Approccio Analitico:

   • Mappatura Teoria di Campo: Per il caso disordinato, la dinamica dell'entanglement è mappata su un Modello Sigma Non Lineare (NLSM) utilizzando il formalismo dell'integrale di cammino di Keldysh e il trucco delle repliche.
   • Analisi di Simmetria: Gli autori identificano che il sistema pulito appartiene alla classe di universalità BDI, mentre l'aggiunta di disordine diagonale rompe la simmetria chirale, spostando il sistema nella classe AIII.
   • Gruppo di Rinormalizzazione (RG): Viene eseguita un'analisi RG a un loop sul NLSM, che include un termine aggiuntivo di tipo massa derivante dall'interazione tra disordine e monitoraggio. Ciò permette di derivare la lunghezza di correlazione in funzione della forza del disordine $W$ e della forza di monitoraggio $\gamma$.

Risultati Chiave

• Assenza di MIPT: Sia i risultati numerici che quelli analitici confermano che il sistema rimane nella fase a legge di area per qualsiasi forza di monitoraggio $\gamma$ e forza di disordine $W$ finite. La forza critica di monitoraggio risulta coerente con zero ($\gamma_c \approx 0$).
• Risoluzione dell'Effetto di Dimensione Finita: La MIPT riportata in precedenza nelle Ref. [59, 60] è identificata come un artefatto di dimensione finita. In quegli studi, la dimensione del sistema ($L \sim 500$) era inferiore alla lunghezza di correlazione ($l_{cor}$) nel regime di monitoraggio debole, portando a una scalatura apparente a legge di potenza (simile alla legge di volume). Raggiungendo $L \le 18.000$, gli autori osservano il vero decadimento esponenziale caratteristico della legge di area.
• Simmetria e Lunghezza di Correlazione:
  • Limite Pulito (BDI): $l_{cor} \sim \frac{1}{\gamma} \exp\left(\frac{\sqrt{2\pi}}{2\gamma}\right)$.
  • Limite Disordinato (AIII): Il cambiamento di simmetria verso la classe AIII modifica l'esponente, producendo $l_{cor} \sim \frac{1}{\gamma} \exp\left(\frac{\sqrt{2\pi}}{\gamma}\right)$. Ciò risulta in una lunghezza di correlazione significativamente maggiore per lo stesso $\gamma$ rispetto al caso pulito.
  • Dipendenza dal Disordine: Contrariamente all'intuizione secondo cui il disordine potrebbe sopprimere l'entanglement, la soluzione analitica rivela che nel limite di disordine debole, la lunghezza di correlazione aumenta con la forza del disordine. Ciò è attribuito al termine di massa nel NLSM e al cambiamento di simmetria.
• Potenziale Quasiperiodico: Analogamente al caso disordinato, il potenziale quasiperiodico induce una transizione verso la classe di simmetria AIII. I risultati numerici per la lunghezza di correlazione confermano la scalatura AIII e non mostrano alcuna evidenza di una transizione di fase.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma di risolvere definitivamente la controversia riguardante la MIPT in fermioni 1D non interagenti monitorati con disordine. Gli autori affermano che:

1. Nessuna MIPT Esiste: La dinamica dell'entanglement di questi sistemi non esibisce una transizione di fase; si trovano sempre nella fase a legge di area indipendentemente dalla forza di monitoraggio o di disordine.
2. Le Affermazioni Precedenti Erano Artefatti: L'osservazione di una MIPT in lavori precedenti era dovuta a dimensioni del sistema insufficienti rispetto alla lunghezza di correlazione esponenzialmente grande nel regime di monitoraggio debole.
3. Conferma Analitica: La mappatura analitica al NLSM con la classe di simmetria AIII fornisce una base teorica per i risultati numerici, spiegando la lunghezza di correlazione potenziata e l'assenza di una transizione.
4. Necessità Metodologica: Il lavoro sottolinea l'importanza critica delle simulazioni su larga scala (rese possibili dalle GPU) e di una scalatura di dimensione finita accurata nello studio di fenomeni indotti da misurazione, dove le lunghezze di correlazione possono divergere rapidamente.

Gli autori concludono che la presenza di disordine o quasiperiodicità non altera la scalatura fondamentale dell'entropia di entanglement rispetto al caso pulito, preservando il comportamento a legge di area per tutti i parametri finiti.