Sample Size Determination Under Selection Bias: Robust Tolerance Limits for Prevalent Cohort Data

Riepilogo Tecnico: Determinazione della Dimensione Campionaria in Presenza di Bias di Selezione

Enunciato del Problema
La determinazione di dimensioni campionarie sufficienti per studi statistici è fondamentale per garantire la potenza dei test di ipotesi e catturare la maggior parte della distribuzione di una popolazione. Il quadro classico per questo problema, stabilito da Scheffé e Tukey (1944), fornisce una formula libera dalla distribuzione che mette in relazione la dimensione campionaria con la copertura della popolazione utilizzando le statistiche d'ordine. Tuttavia, questa formula si basa sulla rigorosa assunzione di un campione casuale e non distorto dalla popolazione target. Nelle applicazioni biologiche e mediche, i vincoli logistici spesso precludono tale campionamento, portando a disegni distorti come studi di coorte prevalenti, campionamento distorto per lunghezza e dati di tempi di fallimento censurati. Quando la formula classica di Scheffé-Tukey viene applicata a questi campioni distorti, produce stime errate della dimensione campionaria e delle probabilità di copertura. Gli approcci recenti esistenti per i dati censurati spesso si basano su assunzioni restrittive, come distribuzioni esponenziali dei tempi di fallimento. Questo articolo affronta la necessità di formule robuste per la dimensione campionaria che accomodino schemi di campionamento distorti generali senza essere limitati a forme parametriche specifiche come la distribuzione esponenziale.

Metodologia
Gli autori propongono estensioni alla formula di Scheffé-Tukey per gestire una vasta classe di schemi di campionamento distorto, inclusi bias di peso e censura. A differenza del caso non distorto, le formule modificate non sono libere dalla distribuzione; richiedono una conoscenza a priori (o una stima) sia della distribuzione della popolazione target ($F$) sia della distribuzione del campionamento distorto ($G$). L'articolo delinea due approcci principali per risolvere la disuguaglianza del problema di copertura $P[F(Y_{n-m+1}) - F(Y_r) \geq q] \geq 1 - \alpha$, dove $Y$ rappresenta le statistiche d'ordine dalla distribuzione distorta:

1. Approccio della Disuguaglianza Analitica: Questo metodo approssima il problema di copertura bilaterale trattando le statistiche d'ordine come approssimativamente indipendenti e utilizzando una sequenza di disuguaglianze monolaterali. Impiega un'approssimazione lineare a tratti della mappatura delle quantili $\Phi^{-1} = F \circ G^{-1}$. Sebbene ciò produca una soluzione analitica, gli autori notano che la sequenza di disuguaglianze fornisce limiti lassi, portando spesso a una sovrastima della dimensione campionaria richiesta.
2. Approccio Computazionale FFT: Per evitare la sovrastima intrinseca nel metodo delle disuguaglianze, gli autori propongono un approccio computazionale basato sulla Trasformata di Fourier Veloce (FFT). Assumendo l'indipendenza tra le statistiche d'ordine per dimensioni campionarie moderate, la funzione di densità di probabilità (PDF) della differenza tra le statistiche d'ordine è derivata tramite la convoluzione delle loro singole PDF. Questa convoluzione è calcolata efficientemente utilizzando la FFT. Il metodo approssima l'integrale della PDF risultante utilizzando una somma di Riemann su una griglia, permettendo la stima numerica della probabilità di copertura e la successiva ricerca della radice della dimensione campionaria $n$.

L'articolo dettaglia come le necessarie mappature delle quantili ($\Phi$ e $\Phi^{-1}$) possano essere ottenute in vari contesti: analiticamente per distribuzioni specifiche, tramite simulazione Monte Carlo quando le distribuzioni sono intrattabili, o attraverso stimatori di massima verosimiglianza non parametrici (NPMLE) utilizzando dati di studi pilota.

Risultati Chiave
I metodi proposti sono stati validati attraverso un'estesa simulazione e un'applicazione a dati reali:

• Studio di Simulazione: Utilizzando popolazioni target distribuite secondo una Gamma con tassi di rischio variabili e campionamento distorto per lunghezza con censura a destra, lo studio ha confrontato la formula classica di Scheffé-Tukey, l'approccio delle disuguaglianze e l'approccio FFT.
  • La formula di Scheffé-Tukey ha costantemente sottostimato la dimensione campionaria richiesta, risultando in probabilità di copertura empiriche significativamente inferiori al livello nominale del 95%.
  • L'approccio delle disuguaglianze tendeva a sovrastimare la dimensione campionaria, producendo probabilità di copertura vicine al 100%, il che diventa meno efficiente all'aumentare dei tassi di censura.
  • L'approccio FFT ha identificato con successo la dimensione campionaria corretta, raggiungendo probabilità di copertura empiriche vicine al livello nominale di 0,95 in tutti gli scenari. Il costo computazionale è risultato trascurabile (tipicamente sotto 0,1 secondi).
• Applicazione ai Dati CSHA: I metodi sono stati applicati ai dati dello Studio Canadese sulla Salute e l'Invecchiamento (CSHA), uno studio di coorte prevalente di pazienti con demenza con tempi di fallimento distorti per lunghezza e censurati a destra. Utilizzando i dati CSHA come studio pilota per stimare le distribuzioni, gli autori hanno calcolato le dimensioni campionarie richieste per varie configurazioni di statistiche d'ordine.
  • I risultati hanno rispecchiato i risultati della simulazione: Scheffé-Tukey ha prodotto le dimensioni campionarie più piccole, l'approccio delle disuguaglianze le più grandi, e l'approccio FFT ha prodotto valori intermedi.
  • Gli autori notano che, sebbene le dimensioni campionarie calcolate fossero inferiori alla dimensione della coorte CSHA esistente, il confronto evidenzia la sostanziale divergenza nelle stime tra i metodi quando è presente il bias.

Significato e Affermazioni
L'articolo afferma che la formula classica di Scheffé-Tukey è invalida per regimi di campionamento distorto, portando a disegni di studio statisticamente insostenibili. Il contributo principale è la derivazione e la validazione di formule modificate per la dimensione campionaria che tengono conto del bias di selezione e della censura. Gli autori sottolineano che, sebbene questi metodi richiedano la conoscenza delle distribuzioni sottostanti (o la capacità di stimarle tramite studi pilota), offrono una correzione necessaria alla pratica standard.

Gli autori concludono modestamente che l'approccio basato su FFT è il metodo raccomandato per calcolare le dimensioni campionarie dei limiti di tolleranza in presenza di campionamento distorto. Sostengono che il compromesso computazionale trascurabile del metodo FFT è giustificato dal significativo aumento di accuratezza rispetto sia alla formula classica sia all'approccio conservativo delle disuguaglianze. Il lavoro fornisce un quadro pratico per i ricercatori che trattano dati di coorti prevalenti, garantendo che i calcoli della dimensione campionaria riflettano le complessità dei disegni di campionamento distorto piuttosto che affidarsi ad assunzioni idealizzate di non distorsione.