Sample Size Determination Under Selection Bias: Robust Tolerance Limits for Prevalent Cohort Data

Resumen Técnico: Determinación del Tamaño Muestral Bajo Sesgo de Selección

Enunciado del Problema
La determinación de tamaños muestrales suficientes para estudios estadísticos es crítica para garantizar la potencia de las pruebas de hipótesis y capturar la mayor parte de la distribución de una población. El marco clásico para este problema, establecido por Scheffé y Tukey (1944), proporciona una fórmula libre de distribución que relaciona el tamaño muestral con la cobertura poblacional utilizando estadísticos de orden. Sin embargo, esta fórmula se basa en la suposición estricta de una muestra aleatoria y no sesgada de la población objetivo. En aplicaciones biológicas y médicas, las restricciones logísticas a menudo impiden dicho muestreo, lo que conduce a diseños sesgados como estudios de cohorte prevalente, muestreo sesgado por longitud y datos de tiempo de falla censurados. Cuando la fórmula clásica de Scheffé-Tukey se aplica a estas muestras sesgadas, produce estimaciones incorrectas del tamaño muestral y probabilidades de cobertura. Los enfoques recientes existentes para datos censurados a menudo dependen de suposiciones restrictivas, como distribuciones exponenciales de tiempo de falla. Este artículo aborda la necesidad de fórmulas de tamaño muestral robustas que acomoden esquemas de muestreo sesgado general sin estar restringidas a formas paramétricas específicas como la distribución exponencial.

Metodología
Los autores proponen extensiones a la fórmula de Scheffé-Tukey para manejar una amplia clase de esquemas de muestreo sesgado, incluidos el sesgo por ponderación y la censura. A diferencia del caso no sesgado, las fórmulas modificadas no son libres de distribución; requieren conocimiento a priori (o estimación) tanto de la distribución de la población objetivo ($F$) como de la distribución de muestreo sesgado ($G$). El artículo describe dos enfoques principales para resolver la desigualdad del problema de cobertura $P[F(Y_{n-m+1}) - F(Y_r) \geq q] \geq 1 - \alpha$, donde $Y$ representa estadísticos de orden de la distribución sesgada:

1. Enfoque de Desigualdad Analítica: Este método aproxima el problema de cobertura bilateral tratando los estadísticos de orden como aproximadamente independientes y utilizando una secuencia de desigualdades unilaterales. Emplea una aproximación lineal por partes del mapeo de cuantiles $\Phi^{-1} = F \circ G^{-1}$. Aunque esto produce una solución analítica, los autores señalan que la secuencia de desigualdades proporciona límites holgados, lo que a menudo conduce a una sobreestimación del tamaño muestral requerido.
2. Enfoque Computacional FFT: Para evitar la sobreestimación inherente al método de desigualdades, los autores proponen un enfoque computacional basado en la Transformada Rápida de Fourier (FFT). Asumiendo independencia entre los estadísticos de orden para tamaños muestrales moderados, la función de densidad de probabilidad (PDF) de la diferencia entre estadísticos de orden se deriva mediante la convolución de sus PDF individuales. Esta convolución se calcula eficientemente utilizando la FFT. El método aproxima la integral de la PDF resultante utilizando una suma de Riemann en una cuadrícula, permitiendo la estimación numérica de la probabilidad de cobertura y la posterior búsqueda de raíces del tamaño muestral $n$.

El artículo detalla cómo se pueden obtener los mapeos de cuantiles necesarios ($\Phi$ y $\Phi^{-1}$) en diversos escenarios: analíticamente para distribuciones específicas, mediante simulación Monte Carlo cuando las distribuciones son intratables, o a través de estimadores de máxima verosimilitud no paramétricos (NPMLE) utilizando datos de un estudio piloto.

Resultados Clave
Los métodos propuestos fueron validados mediante un extenso estudio de simulación y una aplicación a datos del mundo real:

• Estudio de Simulación: Utilizando poblaciones objetivo distribuidas Gamma con tasas de riesgo variables y muestreo sesgado por longitud con censura a la derecha, el estudio comparó la fórmula clásica de Scheffé-Tukey, el enfoque de desigualdades y el enfoque FFT.
  • La fórmula de Scheffé-Tukey subestimó consistentemente el tamaño muestral requerido, resultando en probabilidades de cobertura empíricas significativamente inferiores al nivel nominal del 95%.
  • El enfoque de desigualdades tendió a sobreestimar el tamaño muestral, produciendo probabilidades de cobertura cercanas al 100%, lo cual se vuelve menos eficiente a medida que aumentan las tasas de censura.
  • El enfoque FFT identificó con éxito el tamaño muestral correcto, logrando probabilidades de cobertura empíricas cercanas al nivel nominal de 0.95 en todos los escenarios. Se encontró que el costo computacional era despreciable (típicamente por debajo de 0.1 segundos).
• Aplicación a Datos de CSHA: Los métodos se aplicaron a datos del Estudio Canadiense de Salud y Envejecimiento (CSHA), un estudio de cohorte prevalente de pacientes con demencia con tiempos de falla sesgados por longitud y censurados a la derecha. Utilizando los datos de CSHA como estudio piloto para estimar las distribuciones, los autores calcularon los tamaños muestrales requeridos para diversas configuraciones de estadísticos de orden.
  • Los resultados reflejaron los hallazgos de la simulación: Scheffé-Tukey produjo los tamaños muestrales más pequeños, el enfoque de desigualdades produjo los más grandes, y el enfoque FFT produjo valores intermedios.
  • Los autores señalan que, aunque los tamaños muestrales calculados fueron menores que el tamaño de la cohorte CSHA existente, la comparación resalta la divergencia sustancial en las estimaciones entre los métodos cuando está presente el sesgo.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que la fórmula clásica de Scheffé-Tukey es inválida para regímenes de muestreo sesgado, lo que conduce a diseños de estudio estadísticamente insostenibles. La contribución principal es la derivación y validación de fórmulas de tamaño muestral modificadas que tienen en cuenta el sesgo de selección y la censura. Los autores enfatizan que, aunque estos métodos requieren conocimiento de las distribuciones subyacentes (o la capacidad de estimarlas mediante estudios piloto), ofrecen una corrección necesaria a la práctica estándar.

Los autores concluyen modestamente que el enfoque basado en FFT es el método recomendado para calcular tamaños muestrales de límites de tolerancia bajo muestreo sesgado. Argumentan que el intercambio computacional despreciable del método FFT está justificado por el aumento significativo en la precisión en comparación tanto con la fórmula clásica como con el enfoque conservador de desigualdades. El trabajo proporciona un marco práctico para los investigadores que tratan con datos de cohortes prevalentes, asegurando que los cálculos de tamaño muestral reflejen las complejidades de los diseños de muestreo sesgado en lugar de depender de suposiciones idealizadas de no sesgo.