Polynomial contractions of $\mathbb C^d$ and degree growth

Riepilogo Tecnico: Contrazioni Polinomiali di $\mathbb{C}^d$ e Crescita del Grado

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta una questione posta da Verbitsky e Ornea riguardante il comportamento delle contrazioni polinomiali automorfe sugli spazi complessi $\mathbb{C}^d$. Nello specifico, indaga se esista una contrazione polinomiale $\gamma$ (un'automorfismo con un unico punto fisso nell'origine tale che $\lim_{n\to\infty} \gamma^n(x) = 0$ per ogni $x$) in cui il grado delle iterazioni $\deg(\gamma^n)$ cresca illimitatamente al tendere di $n$ all'infinito.

Lo studio si colloca nel contesto di teoremi di tipo GAGA per varietà complesse dotate di contrazioni olomorfe. Esiste una tensione centrale tra proprietà algebriche e olomorfe: mentre il teorema di Poincaré–Dulac garantisce che certe contrazioni siano linearizzabili olomorficamente, non è immediatamente chiaro se lo siano anche algebricamente. La proprietà di avere una crescita del grado limitata è un invariante di coniugazione algebrica; pertanto, se una mappa ha una crescita del grado illimitata, non può essere algebricamente coniugata a una mappa lineare (che ha grado costante).

Metodologia e Definizioni
L'autore impiega una combinazione di teoria dei gruppi algebrici e analisi dei sistemi dinamici:

1. Algebricità Stretta: L'articolo introduce il concetto di automorfismo "strettamente algebrico". Un automorfismo $\gamma$ è strettamente algebrico se appartiene a un'azione di un gruppo algebrico. La Proposizione 1 stabilisce che $\gamma$ è strettamente algebrico se e solo se la sua crescita del grado è limitata ($\sup_n \deg \gamma^n < +\infty$).
2. Analisi Dimensionale ($d=2$): Per il caso bidimensionale, l'autore si basa sulla classificazione degli automorfismi di $\mathbb{C}^2$ (Milnor, Friedland) e sui risultati sull'entropia (Smillie). L'argomentazione procede per esclusione:
   • Gli automorfismi affini ed elementari hanno una crescita del grado costante.
   • Gli automorfismi loxodromici (composizioni finite di mappe di Hénon) esibiscono una crescita esponenziale del grado ma possiedono un'entropia topologica positiva.
   • Poiché una contrazione deve avere entropia topologica zero (nessun punto periodico oltre all'origine), non può essere loxodromica.
   • Conclusione per $d=2$: Non esiste alcuna contrazione polinomiale con crescita del grado illimitata.
3. Costruzione per $d \ge 3$: L'autore costruisce un automorfismo affine-triangolare specifico su $\mathbb{C}^3$ (e per estensione su $\mathbb{C}^d$) definito da:
   $$\gamma(x, y, z) = (\lambda_1(y + xz), \lambda_2 x, \lambda_3 z)$$
   dove $0 < \lambda_i < 1/2$.
   • Dimostrazione della Contrazione: Analizzando le relazioni ricorsive delle iterazioni, l'autore dimostra che la sequenza converge a zero, soddisfacendo la definizione di contrazione.
   • Calcolo della Crescita del Grado: Tracciando i gradi dei polinomi componenti $F_n, G_n, H_n$ di $\gamma^n$, l'autore ricava la ricorrenza $\deg \gamma_{n+1} = \deg \gamma_n + 1$, risultando in una crescita lineare del grado ($\deg \gamma_n = n+1$).

Risultati Chiave

1. Non-esistenza in Dimensione 2: Qualsiasi automorfismo di contrazione di $\mathbb{C}^2$ ha una crescita del grado limitata.
2. Esistenza in Dimensione 3 e Superiore: Per ogni $d \ge 3$, esistono contrazioni polinomiali con crescita del grado illimitata (specificamente lineare).
3. Linearizzazione Olomorfa vs Algebrica:
   • Scegliendo i parametri $\lambda_i$ algebricamente indipendenti, gli autovalori della differenziale nell'origine evitano relazioni di risonanza.
   • Secondo il teorema di Poincaré–Dulac, una tale mappa è olomorficamente coniugata a una mappa lineare.
   • Tuttavia, poiché la crescita del grado è illimitata, la mappa non è strettamente algebrica e quindi non è algebricamente coniugata a nessuna mappa lineare.

Significato e Affermazioni
L'articolo afferma di fornire un controesempio semplice ed esplicito che dimostra una divergenza tra linearizzazione olomorfa e algebrica per contrazioni polinomiali in dimensioni $d \ge 3$.

• Algebrico vs Olomorfo: Gli automorfismi costruiti sono linearizzabili olomorficamente (coniugati a una mappa lineare tramite un diffeomorfismo olomorfo) ma non linearizzabili algebricamente (non coniugati a una mappa lineare tramite un automorfismo polinomiale).
• Risposta a Verbitsky-Ornea: Il lavoro risponde affermativamente alla specifica domanda riguardante l'esistenza di contrazioni polinomiali con crescita del grado illimitata per $d \ge 3$ e negativamente per $d=2$.
• Ambito di Applicazione: I risultati sono presentati come una risposta diretta alla domanda posta, utilizzando strumenti standard della teoria dei gruppi algebrici e della dinamica complessa senza proporre ulteriori applicazioni o estensioni sperimentali. L'autore nota che la costruzione si estende a dimensioni superiori scalando coordinate aggiuntive.