Polynomial contractions of $\mathbb C^d$ and degree growth

Resumo Técnico: Contrações Polinomiais de $\mathbb{C}^d$ e Crescimento de Grau

Enunciado do Problema
Este artigo aborda uma questão colocada por Verbitsky e Ornea sobre o comportamento de automorfismos de contração polinomial em espaços complexos $\mathbb{C}^d$. Especificamente, investiga-se se existe uma contração polinomial $\gamma$ (um automorfismo com um único ponto fixo na origem tal que $\lim_{n\to\infty} \gamma^n(x) = 0$ para todo $x$) onde o grau das iterações $\deg(\gamma^n)$ cresce ilimitadamente quando $n \to \infty$.

O estudo situa-se no contexto de teoremas do tipo GAGA para variedades complexas equipadas com contrações holomorfas. Existe uma tensão central entre propriedades algébricas e holomorfas: enquanto o teorema de Poincaré–Dulac garante que certas contrações são linearizáveis holomorficamente, não é imediatamente claro se elas são algebricamente linearizáveis. A propriedade de ter crescimento de grau limitado é um invariante de conjugação algébrica; assim, se um mapa tem crescimento de grau ilimitado, ele não pode ser algebricamente conjugado a um mapa linear (que tem grau constante).

Metodologia e Definições
O autor emprega uma combinação de teoria de grupos algébricos e análise de sistemas dinâmicos:

1. Algebricidade Estrita: O artigo introduz o conceito de um automorfismo "estritamente algébrico". Um automorfismo $\gamma$ é estritamente algébrico se pertence a uma ação de grupo algébrico. A Proposição 1 estabelece que $\gamma$ é estritamente algébrico se e somente se seu crescimento de grau for limitado ($\sup_n \deg \gamma^n < +\infty$).
2. Análise Dimensional ($d=2$): Para o caso bidimensional, o autor baseia-se na classificação de automorfismos de $\mathbb{C}^2$ (Milnor, Friedland) e em resultados de entropia (Smillie). O argumento procede por eliminação:
   • Automorfismos afins e elementares têm crescimento de grau constante.
   • Automorfismos loxodrômicos (composições finitas de mapas de Hénon) exibem crescimento de grau exponencial, mas possuem entropia topológica positiva.
   • Como uma contração deve ter entropia topológica zero (sem pontos periódicos além da origem), ela não pode ser loxodrômica.
   • Conclusão para $d=2$: Não existe contração polinomial com crescimento de grau ilimitado.
3. Construção para $d \ge 3$: O autor constrói um automorfismo afim-triangular específico em $\mathbb{C}^3$ (e, por extensão, em $\mathbb{C}^d$) definido por:
   $$\gamma(x, y, z) = (\lambda_1(y + xz), \lambda_2 x, \lambda_3 z)$$
   onde $0 < \lambda_i < 1/2$.
   • Prova de Contração: Ao analisar as relações recursivas das iterações, o autor demonstra que a sequência converge para zero, satisfazendo a definição de contração.
   • Cálculo do Crescimento de Grau: Ao rastrear os graus dos polinômios componentes $F_n, G_n, H_n$ de $\gamma^n$, o autor deriva a recorrência $\deg \gamma_{n+1} = \deg \gamma_n + 1$, resultando em crescimento de grau linear ($\deg \gamma_n = n+1$).

Resultados Principais

1. Não existência em Dimensão 2: Qualquer automorfismo de contração de $\mathbb{C}^2$ tem crescimento de grau limitado.
2. Existência em Dimensão 3 e Superiores: Para qualquer $d \ge 3$, existem contrações polinomiais com crescimento de grau ilimitado (especificamente linear).
3. Linearização Holomorfa vs. Algébrica:
   • Ao escolher parâmetros $\lambda_i$ algebricamente independentes, os autovalores da diferencial na origem evitam relações ressonantes.
   • De acordo com o teorema de Poincaré–Dulac, tal mapa é holomorficamente conjugado a um mapa linear.
   • No entanto, como o crescimento de grau é ilimitado, o mapa não é estritamente algébrico e, portanto, não é algebricamente conjugado a nenhum mapa linear.

Significado e Alegações
O artigo afirma fornecer um contraexemplo simples e explícito demonstrando uma divergência entre linearização holomorfa e algébrica para contrações polinomiais em dimensões $d \ge 3$.

• Algébrico vs. Holomorfo: Os automorfismos construídos são linearizáveis holomorficamente (conjugados a um mapa linear via um difeomorfismo holomorfo) mas não linearizáveis algebricamente (não conjugados a um mapa linear via um automorfismo polinomial).
• Resposta a Verbitsky-Ornea: O trabalho responde à questão específica sobre a existência de contrações polinomiais com crescimento de grau ilimitado de forma afirmativa para $d \ge 3$ e negativa para $d=2$.
• Escopo: Os resultados são apresentados como uma resposta direta à questão colocada, utilizando ferramentas padrão da teoria de grupos algébricos e dinâmica complexa, sem propor aplicações adicionais ou extensões experimentais. O autor observa que a construção se estende a dimensões superiores através da escala de coordenadas adicionais.