An IMEX-DG solver with non-conforming mesh refinement for atmospheric dynamics with rotation

Sintesi Tecnica: Un Solver IMEX-DG con Raffinamento di Mesh Non Conforme per la Dinamica Atmosferica con Rotazione

Enunciato del Problema
I flussi atmosferici sono caratterizzati dall'interazione di multiple scale spaziali e temporali, che vanno dalle circolazioni bilanciate su larga scala alle onde acustiche e di gravità rapide. Nei modelli atmosferici completamente comprimibili, la coesistenza di modi geostrofici lenti e modi acustici veloci introduce una forte rigidità, che vincola severamente la dimensione del passo temporale nei metodi di integrazione completamente espliciti. Sebbene l'integrazione temporale Implicita-Esplicita (IMEX) e la discretizzazione spaziale ad alto ordine Discontinuous Galerkin (DG) siano state combinate con successo per affrontare la rigidità acustica in configurazioni cartesiane non rotanti, estendere questi framework per includere la rotazione planetaria è essenziale per la previsione numerica del tempo (NWP) realistica e per le configurazioni di riferimento standard. L'inclusione della forza di Coriolis introduce complessità aggiuntiva, in particolare riguardo alla preservazione dell'equilibrio geostrofico e all'implementazione efficiente dei termini rotazionali all'interno di solver ad alto ordine privi di matrice.

Metodologia
Gli autori presentano un'estensione di un solver IMEX-DG ad alto ordine esistente, implementato all'interno della libreria agli elementi finiti deal.II, per gestire le equazioni di Eulero comprimibili con effetti rotazionali.

• Equazioni Governative: Il solver affronta le equazioni di Eulero comprimibili e non vischiose su un dominio limitato, incorporando l'accelerazione di Coriolis ($-f \mathbf{k} \times \mathbf{u}$) e l'accelerazione gravitazionale. Il sistema è chiuso utilizzando un'equazione di stato per gas ideale caloricamente perfetto.
• Discretizzazione Temporale: Viene adottato uno schema Additivo Runge–Kutta (ARK) IMEX del secondo ordine (nello specifico il metodo TR-BDF2). I contributi rigidi (gradienti di pressione, gravità e rotazione) sono trattati implicitamente, mentre i termini advettivi non rigidi sono trattati esplicitamente. Ciò consente di determinare il passo temporale in base alle scale di flusso meteorologicamente rilevanti piuttosto che alla velocità del suono.
• Discretizzazione Spaziale: Un metodo DG ad alto ordine è utilizzato su mesh adattive non conformi (quadrilaterali in 2D, esagonali in 3D). La formulazione utilizza una base nodale su elementi prodotto tensoriale per abilitare una valutazione efficiente degli operatori priva di matrice.
• Trattamento del Termine Rotazionale: Vengono introdotte e confrontate due strategie alternative per gestire il termine rotazionale all'interno dell'iterazione a punto fisso non lineare (Picard):
  1. Strategia R1: I termini rotazionali e gravitazionali sono ritardati al lato destro, valutati utilizzando l'iterata di Picard precedente.
  2. Strategia R2: I termini rotazionali e gravitazionali sono trattati implicitamente sul lato sinistro del sistema accoppiato momento-energia.
• Implementazione Senza Matrice: Un contributo tecnico chiave è la derivazione di una formulazione per l'inverso dell'operatore $(A + R)$, dove $A$ è la matrice di massa e $R$ rappresenta il termine di Coriolis. Sfruttando la struttura algebrica dell'operatore di Coriolis (in particolare che $R = \beta A J$, dove $J$ è una rotazione planare), gli autori derivano una fattorizzazione $(A+R)^{-1} = (I + \beta J)^{-1}A^{-1}$. Ciò consente di calcolare l'applicazione dell'inverso tramite operazioni standard prive di matrice seguite da una trasformazione algebrica locale, evitando la necessità di risolvere sistemi lineari con il completo operatore accoppiato.

Contributi Chiave

1. Estensione ai Flussi Rotanti: L'integrazione riuscita della forza di Coriolis in un framework IMEX-DG completamente comprimibile e ad alto ordine all'interno della libreria deal.II.
2. Solver Rotazionale Efficiente Senza Matrice: Lo sviluppo di una specifica fattorizzazione algebrica per l'operatore di Coriolis che preserva l'efficienza delle implementazioni senza matrice, evitando il costo computazionale di risolvere grandi sistemi lineari accoppiati per il termine rotazionale.
3. Confronto delle Strategie Iterative: Un confronto sistematico di due trattamenti a punto fisso non lineare (R1 e R2) per i termini rotazionali, valutandoli in termini di accuratezza, robustezza ed efficienza computazionale.
4. Validazione su Mesh Adattive: La prima applicazione di un tale framework IMEX-DG rotante su mesh adattive non conformi, dimostrando la capacità di eseguire raffinamenti locali vicino all'orografia mantenendo stabilità e accuratezza.

Risultati Numerici
La formulazione proposta è stata validata attraverso una serie di benchmark bidimensionali e tridimensionali:

• Onde di Inerzia-Gravità 2D: Studi di convergenza su un benchmark standard di onde di inerzia-gravità hanno mostrato che entrambe le strategie R1 e R2 raggiungono tassi di convergenza quasi ottimali coerenti con l'ordine teorico dello schema. I risultati hanno confermato che il solver cattura accuratamente la propagazione delle onde e la preservazione della dinamica bilanciata.
• Onde su Scala Planetaria: Un test su dominio esteso (estensione orizzontale di 60.000 km) ha dimostrato la robustezza del solver su lunghi tempi di integrazione (96 ore). L'errore di equilibrio geostrofico discreto è rimasto limitato e inferiore a $10^{-7}$, indicando che la mancanza di una discretizzazione esattamente ben bilanciata non ha portato a oscillazioni spurie o instabilità.
• Flusso 3D su Orografia:
  • Collina di Media Pendenza: Simulazioni su un dominio di 60x40x16 km hanno mostrato che l'inclusione della rotazione rompe correttamente la simmetria assiale della scia e dei pattern d'onda, coerentemente con le aspettative fisiche. I risultati sono stati coerenti tra mesh uniformi e non conformi, con quest'ultime che forniscono una migliore risoluzione dei gradienti vicino alla montagna a un costo computazionale ridotto.
  • Collina su Grande Scala: Un nuovo test su scala più ampia (240x240x30 km) ha evidenziato la marcata asimmetria indotta dalla rotazione nei campi di velocità, che è stata catturata chiaramente senza oscillazioni spurie.
• Scalabilità Parallela: Test di scalabilità forte su fino a 2048 core (utilizzando il supercomputer MeluXina) hanno dimostrato che l'inclusione dei termini rotazionali non degrada significativamente l'efficienza parallela del solver originale non rotante. Il solver ha mantenuto un comportamento di scalabilità vicino all'ideale, e la configurazione di mesh non conforme ha mostrato una scalabilità comparabile al caso di mesh uniforme.

Significato e Affermazioni
Il documento afferma che il framework IMEX-DG rotante proposto estende con successo le capacità dei solver atmosferici comprimibili esistenti per includere la rotazione planetaria senza compromettere l'accuratezza, la robustezza o la scalabilità del metodo originale. Gli autori sottolineano che il trattamento senza matrice dell'operatore rotazionale è un abilitatore critico per l'efficienza, consentendo al solver di gestire la complessità aggiuntiva della forza di Coriolis con un sovraccarico minimo.

I risultati indicano che il framework è adatto per simulare flussi atmosferici su larga scala dove la rotazione è un effetto fisico di ordine principale. Il confronto tra i due trattamenti rotazionali suggerisce che sono numericamente equivalenti per i casi testati, fornendo flessibilità nell'implementazione. Gli autori concludono che il metodo cattura correttamente l'asimmetria e le strutture ondose indotte dalla rotazione, validandone l'uso sia per benchmark standard che per configurazioni atmosferiche più realistiche su larga scala. Il lavoro futuro è identificato come focalizzato su configurazioni 3D su scala planetaria, confronti dettagliati con discretizzazioni esattamente ben bilanciate ed estensioni a geometrie sferiche.