An IMEX-DG solver with non-conforming mesh refinement for atmospheric dynamics with rotation

Resumo Técnico: Um Solver IMEX-DG com Refinamento de Malha Não-Conforme para Dinâmica Atmosférica com Rotação

Enunciação do Problema
Os fluxos atmosféricos são caracterizados pela interação de múltiplas escalas espaciais e temporais, variando de circulações equilibradas em grande escala a ondas acústicas e de gravidade rápidas. Em modelos atmosféricos totalmente compressíveis, a coexistência de modos geostróficos lentos e modos acústicos rápidos introduz rigidez severa, o que restringe fortemente o tamanho do passo de tempo em métodos de integração totalmente explícitos. Embora a integração temporal Implícita-Explícita (IMEX) e a discretização espacial de Galerkin Descontínua (DG) de alta ordem tenham sido combinadas com sucesso para abordar a rigidez acústica em configurações cartesianas não rotacionais, a extensão desses quadros para incluir a rotação planetária é essencial para a previsão numérica do tempo (PNT) realista e para configurações de referência padrão. A inclusão da força de Coriolis introduz complexidade adicional, particularmente no que diz respeito à preservação do equilíbrio geostrófico e à implementação eficiente de termos rotacionais dentro de solvers de alta ordem livres de matriz.

Metodologia
Os autores apresentam uma extensão de um solver IMEX-DG de alta ordem existente, implementado na biblioteca de elementos finitos deal.II, para lidar com as equações de Euler compressíveis com efeitos rotacionais.

• Equações Governantes: O solver aborda as equações de Euler compressíveis e não viscosas em um domínio limitado, incorporando a aceleração de Coriolis ($-f \mathbf{k} \times \mathbf{u}$) e a aceleração gravitacional. O sistema é fechado utilizando uma equação de estado de gás ideal caloricamente perfeito.
• Discretização Temporal: Um esquema de Runge-Kutta Aditivo IMEX (ARK) de segunda ordem (especificamente o método TR-BDF2) é empregado. Contribuições rígidas (gradientes de pressão, gravidade e rotação) são tratadas implicitamente, enquanto termos advectivos não rígidos são tratados explicitamente. Isso permite que o passo de tempo seja determinado por escalas de fluxo meteorologicamente relevantes, em vez da velocidade do som.
• Discretização Espacial: Um método DG de alta ordem é utilizado em malhas adaptativas não-conformes (quadriláteras em 2D, hexaédricas em 3D). A formulação utiliza uma base nodal em elementos de produto tensorial para permitir uma avaliação eficiente de operadores livres de matriz.
• Tratamento do Termo Rotacional: Duas estratégias alternativas para lidar com o termo rotacional dentro da iteração de ponto fixo não linear (Picard) são introduzidas e comparadas:
  1. Estratégia R1: Termos rotacionais e gravitacionais são atrasados para o lado direito, avaliados usando a iteração de Picard anterior.
  2. Estratégia R2: Termos rotacionais e gravitacionais são tratados implicitamente no lado esquerdo do sistema acoplado de momento-energia.
• Implementação Livre de Matriz: Uma contribuição técnica chave é a derivação de uma formulação para o inverso do operador $(A + R)$, onde $A$ é a matriz de massa e $R$ representa o termo de Coriolis. Ao explorar a estrutura algébrica do operador de Coriolis (especificamente que $R = \beta A J$, onde $J$ é uma rotação planar), os autores derivam uma fatoração $(A+R)^{-1} = (I + \beta J)^{-1}A^{-1}$. Isso permite que a aplicação do inverso seja computada via operações padrão livres de matriz, seguidas por uma transformação algébrica local, evitando a necessidade de resolver sistemas lineares com o operador acoplado completo.

Principais Contribuições

1. Extensão para Fluxos Rotacionais: A integração bem-sucedida da força de Coriolis em um quadro IMEX-DG totalmente compressível e de alta ordem dentro da biblioteca deal.II.
2. Solver Rotacional Livre de Matriz Eficiente: O desenvolvimento de uma fatoração algébrica específica para o operador de Coriolis que preserva a eficiência das implementações livres de matriz, evitando o custo computacional de resolver grandes sistemas lineares acoplados para o termo rotacional.
3. Comparação de Estratégias Iterativas: Uma comparação sistemática de dois tratamentos de ponto fixo não linear (R1 e R2) para termos rotacionais, avaliando-os em termos de precisão, robustez e eficiência computacional.
4. Validação em Malhas Adaptativas: A primeira aplicação de tal quadro IMEX-DG rotacional em malhas adaptativas não-conformes, demonstrando a capacidade de realizar refinamento local próximo à orografia enquanto mantém estabilidade e precisão.

Resultados Numéricos
A formulação proposta foi validada através de uma série de benchmarks bidimensionais e tridimensionais:

• Ondas de Inércia-Gravidade 2D: Estudos de convergência em um benchmark padrão de ondas de inércia-gravidade mostraram que ambas as estratégias R1 e R2 atingem taxas de convergência quase ótimas consistentes com a ordem teórica do esquema. Os resultados confirmaram que o solver captura com precisão a propagação de ondas e a preservação da dinâmica equilibrada.
• Ondas de Escala Planetária: Um teste de domínio grande (extensão horizontal de 60.000 km) demonstrou a robustez do solver ao longo de longos tempos de integração (96 horas). O erro de equilíbrio geostrófico discreto permaneceu limitado e abaixo de $10^{-7}$, indicando que a falta de uma discretização exatamente equilibrada não levou a oscilações espúrias ou instabilidade.
• Fluxo 3D sobre Orografia:
  • Colina de Inclinação Média: Simulações em um domínio de 60x40x16 km mostraram que a inclusão da rotação quebra corretamente a simetria axial da esteira e dos padrões de ondas, consistente com expectativas físicas. Os resultados foram consistentes entre malhas uniformes e não-conformes, com esta última fornecendo melhor resolução de gradientes próximos à montanha com custo computacional reduzido.
  • Colina de Grande Escala: Um novo teste de maior escala (240x240x30 km) destacou a assimetria pronunciada induzida pela rotação nos campos de velocidade, que foi claramente capturada sem oscilações espúrias.
• Escalabilidade Paralela: Testes de escalabilidade forte em até 2048 núcleos (utilizando o supercomputador MeluXina) demonstraram que a inclusão de termos rotacionais não degrada significativamente a eficiência paralela do solver original não rotacional. O solver manteve um comportamento de escalabilidade próximo ao ideal, e a configuração de malha não-conforme mostrou escalabilidade comparável ao caso de malha uniforme.

Significado e Afirmações
O artigo afirma que o quadro IMEX-DG rotacional proposto estende com sucesso as capacidades de solvers atmosféricos compressíveis existentes para incluir a rotação planetária sem comprometer a precisão, robustez ou escalabilidade do método original. Os autores enfatizam que o tratamento livre de matriz do operador rotacional é um facilitador crítico para a eficiência, permitindo que o solver lide com a complexidade adicional da força de Coriolis com sobrecarga mínima.

Os resultados indicam que o quadro é adequado para simular fluxos atmosféricos de grande escala onde a rotação é um efeito físico de ordem principal. A comparação entre os dois tratamentos rotacionais sugere que são numericamente equivalentes para os casos testados, fornecendo flexibilidade na implementação. Os autores concluem que o método captura corretamente a assimetria e as estruturas de ondas induzidas pela rotação, validando seu uso tanto para benchmarks padrão quanto para configurações atmosféricas de grande escala mais realistas. Trabalhos futuros são identificados como focando em configurações 3D de escala planetária, comparações detalhadas com discretizações exatamente equilibradas e extensões para geometrias esféricas.