Kernel theorems for rigidly-compactly generated $\infty$-categories

Sintesi Tecnica: Teoremi di Kernel per $\infty$-categorie rigidamente-compattemente generate

Enunciato del Problema
Il saggio affronta la rappresentabilità di funtori lineari tra $\infty$-categorie rigidamente-compattemente generate, concentrandosi specificamente su contesti "finiti" in cui sorgente e target sono ristretti a sottocategorie di oggetti "finiti" definite tramite $t$-strutture. Sebbene i classici teoremi di kernel (come l'equivalenza tra funtori che preservano i colimiti e i kernel nella ind-completamento) siano ben stabiliti per le categorie rigidamente-compattemente generate, essi non si applicano direttamente quando il dominio è ristretto a oggetti pseudo-coerenti o coerenti. Il problema centrale è determinare se i funtori esatti e lineari definiti su queste sottocategorie finite (ad esempio, $PCoh(B)$o$Coh(B)$) possano essere rappresentati da oggetti all'interno della categoria target (o del suo duale) in modo analogo all'embedding di Yoneda classico. Nello specifico, l'autore mira a stabilire equivalenze tra categorie di funtori e categorie di "kernel" (oggetti nella categoria target) sotto specifiche condizioni di finitezza.

Metodologia
Il saggio opera all'interno del framework delle categorie stabili presentabili ($PrL_{st}$) e utilizza il linguaggio degli oggetti algebrici commutativi nella categoria monoidale simmetrica delle piccole categorie stabili idempotent-complete ($Cat^{perf}$). La metodologia si basa su tre nozioni interagenti di finitezza:

1. Compattezza: Oggetti che preservano i colimiti filtrati.
2. Dualizzabilità: Oggetti che ammettono un duale, fondamentale per la rigidità della struttura monoidale.
3. Coerenza/Pseudo-coerenza: Oggetti definiti tramite $t$-strutture, che generalizzano la limitatezza e la generazione finita in geometria algebrica.

L'approccio tecnico centrale prevede:

• Embedding di Yoneda Lineari: Utilizzare l'embedding di Yoneda $A$-lineare per relazionare i moduli su un algebra rigido a funtori. Il saggio perfeziona l'equivalenza standard $Ind(M^{op} \otimes_A N) \simeq Fun^{ex}_A(M, Ind(N))$ al contesto finitario.
• Categorie Tor-Finite: L'autore axiomatizza le "categorie tor-finite", ovvero categorie rigidamente-compattemente generate dotate di una $t$-struttura accessibile, compatibile e completa generata da oggetti compatti di tor-dimensione finita. Ciò assicura che il prodotto tensoriale con oggetti compatti preservi le proprietà di finitezza della $t$-struttura.
• Discesa Universale: Per gestire la rappresentabilità di funtori che partono da oggetti coerenti (dove la sorgente non è generata solo da oggetti compatti), il saggio introduce i "morfismi di discesa universale". Questi sono funtori $h: B \to R$ verso una categoria "regolare" (dove gli oggetti compatti coincidono con quelli coerenti) che permettono la discesa delle proprietà dal target alla sorgente tramite un ritratto a stadio finito dell'identità.
• Classi Proiettive e Approssimazione: Le dimostrazioni impiegano la teoria degli oggetti pseudo-compatti di Neeman e i sistemi di approssimazione. L'autore costruisce classi proiettive generate da oggetti compatti per approssimare i funtori e utilizza il teorema di Barr-Beck e la discesa comonadica per stabilire equivalenze.

Contributi Chiave e Risultati
Il saggio stabilisce due principali teoremi di rappresentabilità (Teoremi di Kernel) per funtori tra categorie tor-finite:

1. Funtori da $(B^\omega)^{op}$ (Teorema 1.0.1):
   Per un funtore quasi-proprio $f^L: A \to B$ (dove l'am adjoint destro preserva gli oggetti pseudo-coerenti) e sotto l'assunto che $B$ ammetta un insieme generatore finito di oggetti compatti che rilevi gli oggetti coconnettivi, esiste un'equivalenza:
   $$PCoh(B) \simeq Fun^{ex}_{A^\omega}((B^\omega)^{op}, PCoh(A))$$
   $$Coh(B) \simeq Fun^{ex}_{A^\omega}((B^\omega)^{op}, Coh(A))$$
   Questo risultato rappresenta funzionali lineari controvarianti su oggetti perfetti con valori in oggetti (pseudo-)coerenti in termini di kernel (pseudo-)coerenti.

2. Funtori da $Coh(B)$ (Teorema 1.0.2):
   Per un funtore quasi-proprio $f^L: A \to B$, se $B$ ammette un morfismo di discesa universale verso una categoria regolare $R$, esiste un'equivalenza:
   $$(B^\omega)^{op} \simeq Fun^{ex}_{A^\omega}(Coh(B), Coh(A))$$
   Questo risultato rappresenta funzionali lineari covarianti su oggetti coerenti con valori in oggetti coerenti in termini di kernel compatti (tramite l'embedding di Yoneda duale). Ciò richiede la condizione di discesa poiché $Coh(B)$ generalmente non è generata solo da oggetti compatti.

Applicazioni ed Esempi
I risultati astratti sono applicati a diversi contesti geometrici concreti:

• Spettri di Anelli $E_\infty$: Per una mappa $f: A \to B$ di $E_\infty$-anelli connettivi dove $B$ è un modulo $A$ quasi-compatto, i teoremi forniscono equivalenze tra categorie di moduli pseudo-coerenti/coerenti e funtori tra moduli perfetti.
• Schemi: Per una mappa propria $f: X \to Y$ di schemi quasi-compatti e quasi-separati con $Y$ noetheriano, il saggio recupera e generalizza i risultati riguardanti $D^-_{coh}(X)$ e $D^b_{coh}(X)$. Nello specifico, stabilisce equivalenze coinvolgenti funtori $Perf(Y)$-lineari. Se $X$ ammette un'alterazione regolare quasi-perfetta, viene stabilita una dualità per $Perf(X)^{op}$.
• Spazi Algebrici Spettrali: I risultati estendono a morfismi propri, localmente quasi di finite presentazione di spazi algebrici spettrali quasi-compatti e quasi-separati, relazionando oggetti pseudo-coerenti e coerenti a funtori su oggetti perfetti.

Significato e Rivendicazioni
L'autore posiziona questo lavoro come un raffinamento del "teorema del kernel" per categorie rigidamente-compattemente generate, affrontando specificamente il caso "finito" in cui la sorgente è ristretta agli oggetti finiti definiti da $t$-strutture.

• Generalizzazione: Il primo teorema è presentato come una generalizzazione dei risultati di Neeman (specificamente [Nee25, Theorem 0.4.(i)]), mentre il secondo è descritto come una generalizzazione parziale di [Nee25, Theorem 0.4.(ii)].
• Dualità di Grothendieck: Il saggio riformula la dualità di Grothendieck in termini di amministratori sinistri interni, chiarendo la relazione tra funtori quasi-propri e la preservazione degli oggetti pseudo-coerenti.
• Modestia: L'autore nota esplicitamente che il secondo teorema (Funtori da $Coh(B)$) è una generalizzazione "incompleta" del lavoro di Neeman, poiché dipende dall'esistenza di un morfismo di discesa universale verso una categoria regolare, una condizione che non è sempre soddisfatta nei contesti più generali (ad esempio, per spazi algebrici spettrali generali). Il saggio non pretende di risolvere il problema della rappresentabilità per tutte le categorie coerenti senza tali assunti di discesa.
• Motivazione: Il lavoro è motivato da una domanda informale in [Nee25] riguardante il parallelismo tra i risultati di rappresentabilità nella geometria algebrica derivata (Ben-Zvi, Nadler, Preygel) e nella teoria dell'omotopia stabile (Neeman). Il saggio mira a fornire un quadro astratto unificato per questi fenomeni.