Kernel theorems for rigidly-compactly generated $\infty$-categories

技術要約：剛性コンパクト生成 $\infty$-圏におけるカーネル定理

問題設定
本論文は、剛性コンパクト生成（rigidly-compactly generated）$\infty$-圏間の線形関手の表現可能性（representability）を取り扱う。特に、$t$-構造を通じて定義される「有限」な対象のサブカテゴリーにソースとターゲットが制限される「有限的（finitary）」な設定に焦点を当てる。古典的なカーネル定理（例えば、ind-完備化における余積保存関手とカーネルの間の同値性など）は、剛性コンパクト生成カテゴリーに対しては確立されているが、ドメインが擬似余連接（pseudo-coherent）または余連接（coherent）な対象に制限されている場合には直接適用できない。中心となる問題は、これらの有限的サブカテゴリー（例：$PCoh(B)$や$Coh(B)$）上で定義された正確な線形関手が、古典的なヨネダ埋め込みと同様の方法で、ターゲットの圏（またはその双対）内の対象によって表現可能であるかどうかを決定することである。具体的には、著者は、特定の有限性条件の下での、関手の圏と「カーネル」（ターゲットの対象）の圏との間の同値性を確立しようとしている。

手法
本論文は、表示可能な安定 $\infty$-圏（$PrL_{st}$）の枠組みの中で動作し、小さい冪等完備な安定カテゴリーの対称モノイダル圏（$Cat^{perf}$）における可換代数オブジェクトの言語を利用する。手法は、以下の相互作用する3つの有限性の概念に基づいている：

1. コンパクト性（Compactness）: フィルタ化された余積を保存する対象。
2. 双対可能性（Dualizability）: 双対を持つ対象。これは、剛性モノイダル構造において極めて重要である。
3. 余連接性／擬似余連接性（Coherence/Pseudo-coherence）: $t$-構造を通じて定義される対象であり、代数幾何学における有界性や有限生成を一般化したものである。

核心となる技術的アプローチは以下の通りである：

• 線形ヨネダ埋め込み: $A$-線形ヨネダ埋め込みを利用して、剛な代数 $A$ 上の加群と関手を関連付ける。本論文は、標準的な同値関係 $Ind(M^{op} \otimes_A N) \simeq Fun^{ex}_A(M, Ind(N))$ を、有限的な設定へと洗練させる。
• Tor-有限カテゴリー: 著者は「tor-有限カテゴリー」を公理化した。これは、コンパクトな対象が有限のtor次元を持つことで、compatibleかつcompleteなaccessibleな$t$-構造を備えた、剛性コンパクト生成カテゴリーである。これにより、コンパクトな対象とのテンソル積が$t$-構造の有限性を保持することが保証される。
• 普遍降下（Universal Descent）: 余連接な対象（ソースがコンパクトな対象のみでは生成されない場合）からの関手の表現可能性を扱うために、著者は「普遍降下写像（morphisms of universal descent）」を導入する。これらは、「正則（regular）」なカテゴリーへの関数 $h: B \to R$ であり、恒等写像の有限段階のレトラクトを通じて、ターゲットからソースへの性質の降下を可能にするものである。
• 射影クラスと近似: 証明には、Neemanの擬似コンパクト対象の理論および近似システムが用いられる。著者は、関手を近似するためにコンパクトな対象によって生成される射影クラスを構築し、Barr-Beckの定理とコモナディック降下を用いて同値性を確立する。

主要な貢献と結果
本論文は、tor-finiteなカテゴリー間の関手に関する2つの主要な表現可能性定理（カーネル定理）を確立している：

1. $(B^\omega)^{op}$ からの関手 (定理 1.0.1):
   準固有（quasi-proper）な関数 $f^L: A \to B$ （ここで右随伴が擬似余連接な対象を保存する）に対し、$B$ が余連接な対象を検出するコンパクトな対象の有限生成集合を持つという仮定の下で、以下の同値性が成立する：
   $$PCoh(B) \simeq Fun^{ex}_{A^\omega}((B^\omega)^{op}, PCoh(A))$$
   $$Coh(B) \simeq Fun^{ex}_{A^\omega}((B^\omega)^{op}, Coh(A))$$
   この結果は、完全な対象上の（擬似）余連接な値を持つ反変線形汎関数を、（擬似）余連接なカーネルとして表現するものである。

2. $Coh(B)$ からの関手 (定理 1.0.2):
   準固有な関数 $f^L: A \to B$ に対し、$B$ が正則なカテゴリー $R$ への普遍降下の写像を持つ場合、以下の同成立する：
   $$(B^\omega)^{op} \simeq Fun^{ex}_{A^\omega}(Coh(B), Coh(A))$$
   この結果は、余連接な対象上の共変線形汎関数を、コンパクトなカーネル（双対ヨネダ埋め込みを介して）として表現するものである。これには、$Coh(B)$ は一般にコンパクトな対象のみでは生成されないため、降下の条件が必要となる。

応用と例
抽象的な結果は、いくつかの具体的な幾何学的文脈に適用されている：

• $E_\infty$-環スペクトル: 連結な $E_\infty$-環の写像 $f: A \to B$ において、$B$ が $A$ のalmost compactな加群である場合、これらの定理は、完全な加群間の関手の間の擬似余連接／余連接加群の圏の間の同値性を導く。
• スキーム: $Y$ がノーター的な、準コンパクト準分離なスキームの固有（proper）な写像 $f: X \to Y$ について、本論文は $D^-_{coh}(X)$ および $D^b_{coh}(X)$ に関する結果を回収し、一般化する。具体的には、$Perf(Y)$-線形関手を含む同値性を確立する。$X$ が準完全な正則な変更（quasi-perfect regular alteration）を持つ場合、$Perf(X)^{op}$ のための双対性が確立される。
• スペクトル代数空間: 結果は、準コンパクト準分離なスペクトル代数空間の、固有かつ局所的にalmost of finite presentationな射へと拡張され、完全な対象上の関手と擬似余連接および余連接な対象を関連付ける。

意義と主張
著者は、本研究を、剛性コンパクト生成カテゴリーにおける「カーネル定理」の洗練版として位置づけている。具体的には、ソースが$t$-構造によって定義される有限な対象に制限される「有限的」なケースに対処している。

• 一般化: 第1の定理は、Neemanの結果（具体的には [Nee25, Theorem 0.4.(i)]）の一般化として提示されており、第2の定理は [Nee25, Theorem 0.4.(ii)] の部分的な一般化として記述されている。
• グロタンディーク双対性: 本論文は、内部左随伴の観点からグロタンディーク双対性を再定式化し、準固有な関手と擬似余連接な対象の保存との関係を明確にしている。
• 謙虚な姿勢: 著者は、第2の定理（$Coh(B)$ からの関手）が、正則なカテゴリーへの普遍降下の存在に依存しているため、Neemanの研究の「不完全な」一般化であることを明示している。この条件は、最も一般的な設定（例えば、一般的なスペクトル代数空間）では常に満たされるわけではない。したがって、本論文は、このような降下の仮定なしに、すべての余連接なカテゴリーに対する表現可能性問題を解決したと主張している。
• 動機: 本研究は、[Nee25] における、派生代数幾何学（Ben-Zvi, Nadler, Preygel）における表現可能性の結果と、安定ホモトピー論（Neeman）における結果の間の並行性に関する非公式な問いに端を発している。本論文は、これらの現象に対して統一的な抽象的枠組みを提供することを目指している。