Connection between the GKSL master equation and the Landauer formula

Sintesi Tecnica: Connessione tra l'equazione di maestro GKSL e la formula di Landauer

Definizione del Problema
Il trasporto elettronico in sistemi mesoscopici, come le giunzioni molecolari e i punti quantici, viene tipicamente analizzato utilizzando due framework distinti: l'approccio delle funzioni di Green (adatto al trasporto coerente) e l'approccio dell'equazione di maestro (comunemente usato nei regimi di accoppiamento debole che coinvolgono dissipazione e dephasing). Sebbene entrambi siano ampiamente impiegati, la connessione teorica tra di essi rimane non pienamente compresa. Lavori precedenti da parte di Jin et al. hanno stabilito un legame per specifici modelli sistema-bagno sotto i limiti di alta temperatura e alto potenziale chimico, mostrando la convergenza verso le formule di Meir–Wingreen e Landauer. Tuttavia, è necessaria una derivazione della formula della corrente all'interno del formalismo dell'equazione di maestro di Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad (GKSL) per un sistema generico non interagente, nonché un'identificazione precisa delle condizioni sotto le quali essa si riduce alla formula di Landauer, per chiarire questa connessione sotto condizioni più ampie.

Metodologia
Gli autori analizzano un sistema elettronico non interagente connesso a elettrodi sinistro (L) e destro (R), caratterizzato da funzioni di distribuzione di Fermi. L'analisi procede all'interno del framework dell'equazione di maestro GKSL sotto le seguenti assunzioni:

1. Approssimazione di Markov e Approssimazione del Limite di Banda Larga (WBLA): L'accoppiamento tra ciascun orbitale e gli elettrodi è sufficientemente debole, permettendo alla distribuzione di Fermi di essere approssimata come indipendente dall'energia all'interno della finestra energetica rilevante.
2. Hamiltoniana: Il sistema è descritto da un'Hamiltoniana elettronica generale $\hat{H} = \sum_{ij} h_{ij}\hat{c}^\dagger_i \hat{c}_j$.
3. Dinamica: L'evoluzione temporale della matrice di densità $\rho$ è governata dall'equazione GKSL, che incorpora superoperatori di Lindblad che tengono conto dell'iniezione e dell'estrazione di elettroni dagli elettrodi. I coefficienti $\alpha_{a,i}$ e $\beta_{a,i}$ sono derivati dalle intensità di accoppiamento $\gamma_{a,i}$ e dalle distribuzioni di Fermi $f_{a,i}$.
4. Stato Stazionario: Gli autori risolvono per la matrice di densità a singolo elettrone nello stato stazionario $n$ ponendo la derivata temporale uguale a zero. Ciò porta a un'equazione di Sylvester della forma $AX - XB = Y$.
5. Derivazione Matematica: Utilizzando la soluzione integrale generale dell'equazione di Sylvester tramite integrazione di contorno, gli autori esprimono la matrice di densità stazionaria $n$ in termini di funzioni di Green ritardate ($G^r$) e avanzate ($G^a$). Questa espressione viene poi sostituita nella definizione di corrente per derivare una formula di corrente espressa tramite funzioni di Green.

Contributi Chiave e Risultati
Il documento deriva un'espressione esplicita per la corrente elettrica che fluisce dall'elettrodo sinistro verso il sistema all'interno del formalismo GKSL. La corrente risultante $I_L$ è data da:
$$I_L = \frac{q}{h} \int_{-\infty}^{\infty} d\epsilon \, \text{Tr} \left[ f_L \gamma_L G^a(\epsilon) \gamma_R G^r(\epsilon) - f_R \gamma_R G^a(\epsilon) \gamma_L G^r(\epsilon) \right]$$
Questa formulazione permette un confronto diretto con la standard formula di Landauer:
$$I = \frac{q}{h} \int_{-\infty}^{\infty} d\epsilon \, \text{Tr} \left[ \gamma_L G^r(\epsilon) \gamma_R G^a(\epsilon) \right] (f_L(\epsilon) - f_R(\epsilon))$$

Gli autori identificano due condizioni specifiche sotto le quali la formula derivata da GKSL coincide con la formula di Landauer:

1. Hamiltoniana Diagonale (Modi Indipendenti): Se l'Hamiltoniana del sistema è diagonale (che rappresenta modi multicanale indipendenti), la corrente GKSL si riduce a una forma identica alla formula di Landauer nel limite di accoppiamento debole.
2. Distribuzioni di Fermi Indipendenti dall'Energia: Se le funzioni di distribuzione di Fermi $f_L$ e $f_R$ possono essere trattate come costanti indipendenti dall'energia nell'intervallo di energia di interesse (come illustrato nello schema del modello), sia la formula di Landauer che quella GKSL si riducono alla stessa forma semplificata:
   $$I = \frac{q}{h} (f_L - f_R) \int_{-\infty}^{\infty} d\epsilon \, \text{Tr} \left[ \gamma_L G^r(\epsilon) \gamma_R G^a(\epsilon) \right]$$
   Gli autori osservano che la condizione di distribuzioni indipendenti dall'energia è fisicamente giustificata quando tutte le energie degli orbitali a singolo elettrone giacciono strettamente tra i potenziali chimici degli elettrodi ($\mu_R < \epsilon_i < \mu_L$) e la temperatura è sufficientemente bassa ($k_B T \ll \mu_L - \mu_R$), in modo tale che $f_L \approx 1$ e $f_R \approx 0$.

Significatività
Il documento fornisce una derivazione rigorosa che collega l'approccio dell'equazione di maestro GKSL alla formula di Landauer per sistemi non interagenti. Utilizzando la soluzione generale dell'equazione di Sylvester, gli autori dimostrano che i due framework non sono intrinsecamente contraddittori ma diventano equivalenti sotto specifiche restrizioni fisiche. Nello specifico, l'equivalenza sussiste quando la dipendenza energetica delle distribuzioni di Fermi può essere trascurata all'interno della finestra energetica rilevante. Questo lavoro chiarisce i confini teorici in cui il quadro del tunneling sequenziale dissipativo dell'equazione di maestro converge con il quadro del trasporto coerente del formalismo di Landauer.