Temporal modes of quantum states of light scattered by a two-level system

Sintesi Tecnica: Modi Temporali di Stati Quantistici della Luce Diffusi da un Sistema a Due Livelli

Problematica
Gli stati quantistici non gaussiani della luce sono essenziali per il calcolo quantistico, ma la loro generazione deterministica rimane una sfida significativa a causa della difficoltà di controllare le non linearità nei sistemi fisici. I metodi esistenti, come l'addizione/sottrazione di fotoni e la catalisi, si basano su misurazioni probabilistiche, creando un collo di bottiglia per le implementazioni su larga scala. Sebbene gli approcci deterministici che utilizzano sistemi a due livelli (TLS) accoppiati a modi bosonic sono promettenti, la descrizione teorica di queste interazioni diventa sempre più complessa passando dalla luce monocromatica a scenari multimodo e multiphoton. Nello specifico, è necessario un quadro analitico che possa descrivere efficientemente lo scattering di luce multimodo e multiphoton da parte di un TLS senza fare affidamento esclusivamente su tecniche numeriche computazionalmente intensive.

Metodologia
Gli autori presentano un trattamento completamente analitico dello scattering unidirezionale di luce multimodo e multiphoton da parte di un singolo TLS in una guida d'onda chirale. L'approccio combina strumenti di ottica quantistica multimodo con la formalizzazione della teoria dello scattering.

• Quadro Teorico: Il sistema è modellato utilizzando un Hamiltoniano che descrive un campo fotonico, un TLS e la loro interazione. Gli autori utilizzano operatori di fotoni "localizzati nel tempo" e definiscono gli stati di input come sovrapposizioni di operatori di creazione che agiscono sui modi temporali $f_j(t)$.
• Derivazione della Matrice di Scattering: Utilizzando il formalismo input-output e la nota espressione analitica dei coefficienti della matrice di scattering ($S$-matrix) nel dominio del tempo, gli autori derivano un'espressione esplicita per la funzione d'onda in uscita. Esprimono lo stato in uscita con $n$ fotoni unicamente in termini dei modi temporali di input.
• Decomposizione Modale: Per analizzare la struttura dello stato diffuso, gli autori impiegano una tecnica di decomposizione modale. Per il caso specifico di due fotoni ($n=2$), la funzione d'onda in uscita viene trattata come una matrice complessa simmetrica e decomposta utilizzando la decomposizione di Takagi. Ciò produce un insieme di "modi principali" e relativi autovalori, permettendo il calcolo del numero effettivo di modi ($M$) necessari per descrivere lo stato in uscita.

Contributi Chiave

1. Funzione d'Onda di Output Analitica: Il documento fornisce una formula analitica compatta, esplicita e computazionalmente efficiente (Eq. 24) per la funzione d'onda in uscita di $n$ fotoni diffusi da un TLS. A differenza dei precedenti metodi numerici o dei modelli collisionali ricorsivi, questa espressione permette studi sistematici su arbitri modi di input.
2. Interpretazione Fisica: La formula derivata rivela che la funzione d'onda in uscita è una somma su tutti i possibili sottoinsiemi di fotoni che interagiscono con il TLS. Fondamentalmente, dimostra che l'interazione è strettamente sequenziale; non esistono termini corrispondenti all'interazione simultanea di due o più fotoni con il TLS, una manifestazione dell'antibunching dei fotoni.
3. Mappatura verso Stati Entangled: Nel caso specifico dello scattering a due fotoni, gli autori dimostrano che regolando la larghezza spettrale del modo di input rispetto al tasso di decadimento atomico, il processo di scattering può mappare deterministicamente un unico stato a due fotoni di input in uno stato entangled a due modi.

Risultati
Gli autori hanno applicato il loro metodo a input a due fotoni in modi temporali sia lorentziani che gaussiani:

• Numero di Modi Effettivi: Il numero di modi effettivi ($M$) è stato calcolato come funzione del rapporto tra la larghezza del modo di input ($\gamma$ o $\sigma$) e il tasso di decadimento del TLS ($\Gamma$). $M$ presenta due massimi locali.
• Generazione di Stati NOON: A valori specifici (ad esempio, $\gamma \approx 5.52 \Gamma$ per modi lorentziani), il numero effettivo di modi si avvicina a 2 con alta precisione (deviazione $< 1\%$). In questi punti, lo stato in uscita è ben approssimato da una sovrapposizione di due modi principali ortogonali.
• Mappatura dello Stato: L'analisi mostra che un input a due fotoni a singolo modo $|2f\rangle$ viene mappato in uno stato entangled a due modi della forma $\frac{1}{\sqrt{2}}(|2\psi_1, 0\rangle - |0, 2\psi_2\rangle)$, che corrisponde a uno stato NOON a due fotoni.
• Preservazione del Modo: Nella configurazione ottimale, si trova che uno dei modi principali in uscita ($\phi_2$) è quasi identico al modo di input originale $f$, mentre l'altro ($\phi_1$) è un modo ortogonale.
• Confronto dei Profili: Sebbene i profili lorentziano e gaussiano producano risultati simili, il profilo gaussiano fornisce un'approssimazione leggermente migliore allo stato NOON ideale (errore $\approx 0.35\%$ rispetto a $0.6\%$ per il lorentziano).

Significatività e Rivendicazioni
Il documento afferma che questo quadro analitico offre un'interpretazione fisica diretta e una superiore efficienza computazionale rispetto ai metodi numerici esistenti, in particolare per $n > 2$ fotoni. La significatività primaria risiede nella dimostrazione che un semplice setup di scattering deterministico può generare stati non gaussiani (specificamente, stati NOON a due fotoni) con alta fedeltà. Gli autori osservano che questi stati in uscita possiedono una negatività di Wigner maggiore rispetto agli stati di input, suggerendo un potenziale applicazione per la generazione deterministica di risorse non gaussiane per il calcolo quantistico. Il lavoro apre inoltre la strada a protocolli di "ottimizzazione dei modi", dove i modi di input potrebbero essere modellati per massimizzare la fedeltà degli stati entangled risultanti. Gli autori concludono che il loro metodo fornisce una base per investigare il contenuto modale di stati diffusi più complessi, come quelli che coinvolgono stati compressi (squeezed states).