Temporal modes of quantum states of light scattered by a two-level system

技術要約：二準位系によって散乱される光の量子状態における時間的モード

問題提起
非ガウス型量子状態は量子コンピューティングに不可欠であるが、その決定論的な生成は、物理系における非線形性の制御の難しさから、依然として大きな課題となっている。光子の付加・減算やカタリシス（触媒作用）といった既存の手法は、確率的な測定に依存しており、大規模な実装におけるボトルネックとなっている。二準位系（TLS）に結合したボゾンモードを用いる決定論的なアプローチは有望であるが、モノクロマティックな光を超えてマルチモードおよびマルチフォトンのシナリオへと移行する場合、その理論的記述はますます複雑になる。具体的には、数値計算的な手法のみに頼ることなく、マルチモード・マルチフォトンの光がTLSによって散乱される様子を効率的に記述できる解析的な枠組みが必要とされている。

手法
著者らは、カイラル導波路内における、単一のTLSによるマルチモード・マルチフォトンの光の一方向散乱に関する完全な解析的取り扱いを提示している。このアプローチは、マルチモード量子光学のツールと散乱理論の形式を組み合わせたものである。

• 理論的枠組み: システムは、フォトニック場、TLS、およびそれらの相互作用を記述するハミルトニアンを用いてモデル化されている。著者らは「時間局在化」された光子演算子を利用し、入力状態を、時間的モード $f_j(t)$ に作用する生成演算子の重ね合わせとして定義している。
• 散乱行列の導出: 入出力形式および時間領域における散乱行列（$S$行列）係数の既知の解析的表現を用いることで、著者らは出力波関数の明示的な式を導出している。彼らは、$n$ 光子の出力状態を入力の時間的モードのみを用いて表現している。
• モード分解: 散乱された状態の構造を分析するために、著者らはモード分解手法を用いている。二光子（$n=2$）の特定のケースにおいて、出力波関数は複素対称行列として扱われ、高木分解（Takagi decomposition）を用いて分解される。これにより、「主モード」の集合と関連する固有値が得られ、出力状態を記述するために必要な実効的なモード数（$M$）の計算が可能となる。

主な貢献

1. 解析的な出力波関数: 本論文は、TLSによって散乱される $n$ 個の光子の出力波関数に対する、コンパクトで明示的かつ計算効率の高い解析的公式（式24）を提供している。従来の数値的手法や再帰的な衝突モデルとは異なり、この式は任意の入力モードにわたる系統的な研究を可能にする。
2. 物理的解釈: 導出された公式は、出力波関数が、TLSと相互作用するフォトンのすべての可能な部分集合の和であることを明らかにしている。極めて重要な点として、この相互作用は厳密に逐次的であり、二つ以上のフォトンの同時的な相互作用に対応する項は存在しないことが示されており、これは光子の反バンチング（anti-bunching）の現れである。
3. もつれ状態へのマッピング: 二光子散乱の特定のケースにおいて、入力モードのスペクトル幅を原子の崩壊率に対してチューニングすることで、散乱プロセスが単一モードの二光子入力状態を、二モードのもつれ状態へと決定論的にマッピングできることを著者らは実証している。

結果
著者らは、ローレンツ型およびガウス型の時間的モードを用いた二光子入力に対して、彼らの手法を適用した：

• 実効モード数: 実効的なモード数（$M$）を、入力モードの幅（$\gamma$ または $\sigma$）とTLSの崩壊率（$\Gamma$）の比の関数として算出した。$M$ は二つの局所的な極大値を示す。
• NOON状態の生成: 特定のパラメータ値（例：ローレンツ型モードの場合 $\gamma \approx 5.52 \Gamma$）において、実効的なモード数は高い精度で 2 に近づく。これらの点において、出力状態は二つの直交する主モードの重ね合わせとして良好に近似される。
• 状態のマッピング: 解析の結果、単一モードの二光子入力 $|2f\rangle$ は、$\frac{1}{\sqrt{2}}(|2\psi_1, 0\rangle - |0, 2\psi_2\rangle)$ という形式の、もつれた二モード状態へとマッピングされることが示された。これは二光子NOON状態に対応する。
• モードの保存: 最適な構成において、出力の主モードの一つ（$\phi_2$）は元の入力モード $f$ とほぼ同一であり、もう一方（$\phi_1$）は直交するモードであることが判明した。
• プロファイルの比較: ローレンツ型とガウス型の両方の入力は同様の結果をもたらすが、ガウス型プロファイルの方が理想的なNOON状態に対してわずかに優れた近似を与える（誤差はローレンツ型の $0.6\%$ に対し、ガウス型は約 $0.35\%$）。

意義と主張
本論文は、この解析的枠組みが、既存の数値的手法と比較して、特に $n > 2$ の光子に対して、簡潔な物理的解釈と優れた計算効率を提供すると主張している。主要な意義は、単純で決定論的な散乱セットアップによって、高フィデリティで非ガウス型状態（具体的には二光子NOON状態）を生成できることを実証したことにある。著者らは、これらの出力状態は入力状態よりも大きなウィグナー負値（Wigner negativity）を有していると指摘しており、これは量子コンピューティングのための決定論的な非ガウス資源の生成への潜在的な応用を示唆している。本研究は、「モード最適化」プロトコル、すなわち、生成されるもつれ状態のフィデリティを最大化するために入力モードを調整できる可能性への道を開くものである。著者らは、彼らの手法が、スクイーズド状態を含むより複雑な散乱状態のモード含有量を調査するための基礎を提供する、と結論付けている。