Non-Uniqueness for Nonlinear Fokker--Planck Equations and Their Associated Distribution-Dependent SDEs

Sintesi Tecnica: Non-unicità per le equazioni di Fokker–Planck non lineari e le loro associate SDE dipendenti dalla distribuzione

Enunciato del Probleamento
Il saggio investiga la ben-posedness delle equazioni differenziali stocastiche dipendenti dalla distribuzione (DDSDE) e delle loro associate equazioni di Fokker–Planck non lineari (nFPE). Nello specifico, affronta il fenomeno della non-unicità in legge per questi sistemi. Mentre la teoria classica stabilisce la ben-posedness per le DDSDE con coefficienti sufficientemente regolari (ad esempio, drift in $L^r_t L^p_x$ con $\frac{d}{p} + \frac{2}{r} < 1$), questo lavoro esplora i regimi critici e supercritici in cui il drift è irregolare. La questione centrale è se una perturbazione del campo di drift, arbitrariamente piccola e sufficientemente irregolare e priva di divergenza, possa distruggere l'unicità delle soluzioni, sia per l'evoluzione temporale partendo da uno stato stazionario, sia per gli stati stazionari stessi.

Lo studio considera due setting primari:

1. Il Setting Periodico: Il dominio è il toro $\mathbb{T}^d$ ($d \ge 2$).
2. Il Setting in Spazio Intero: Il dominio è $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 2$), concentrandosi su equazioni con potenziali di confinamento e diffusione non lineare.

Le equazioni considerate assumono la forma generale:
$$dX_t = v(t, X_t) dt + (V * \rho_t)(X_t) dt + \sqrt{2}\sigma(t, X_t, \rho_t) dW_t,$$
dove $\rho_t$ è la densità di probabilità di $X_t$, $v$ è un drift esterno, $V$ rappresenta i kernel di interazione e $\sigma$ è un coefficiente di diffusione dipendente dalla distribuzione. La associata nFPE è:
$$\partial_t \rho - \text{div}\text{div}((\sigma\sigma^T)(\rho)\rho) + \text{div}(v\rho) + \text{div}((V*\rho)\rho) = 0.$$

Metodologia
Lo strumento principale impiegato è il metodo della convex integration, originariamente sviluppato per la fluidodinamica (ad esempio, le equazioni di Euler e Navier–Stokes) per costruire soluzioni "selvagge" (wild solutions). Gli autori adattano questa tecnica al contesto delle equazioni paraboliche non lineari e dipendenti dalla distribuzione.

Innovazioni e adattamenti tecnici chiave includono:

• Gestione della Nonlinearità: A differenza delle equazioni di Fokker–Planck lineari dove le combinazioni convesse di soluzioni rimangono soluzioni, la nFPE è genuinamente non lineare. Gli autori non possono semplicemente sovrapporre le soluzioni. Invece, costruiscono infinitamente molte soluzioni distinte eliminando iterativamente i termini di stress in un sistema di equazioni accoppiate.
• Costruzione di un Sistema Infinito: Per generare infinitamente molte soluzioni (Teorema 1.3), gli autori costruiscono una sequenza crescente di interi $\{N_q\}$ e applicano lo schema di convex integration solo alle prime $N_{q+1}$ equazioni al passo $q+1$. Introducono un fattore di decadimento $2^{-i}$ per i termini di stress delle equazioni con indici $i > N_{q+1}$ per garantire che la perturbazione totale converga pur mantenendo le stime necessarie per le equazioni attive.
• Building Blocks: La costruzione utilizza specifici "jet spazio-temporali intermittenti" (nel caso dipendente dal tempo) e "flussi di tipo Mikado" (nel caso stazionario). Questi elementi costruttivi sono progettati per avere supporti disgiunti e proprietà oscillatorie specifiche per cancellare i termini di errore (errore di oscillazione, non lineare, lineare e di commutatore) controllando al contempo la regolarità del drift.
• Soglie di Regolarità: La costruzione mira a drift nello spazio $C_t L^{d-}$ (continuo nel tempo, $L^p$ nello spazio con $p < d$), che si colloca alla naturale soglia di regolarità critica. Il saggio dimostra che la ben-posedness fallisce in ogni intorno di un drift regolare all'interno di questa topologia a bassa regolarità.
• Adattamento allo Spazio Intero: Per il caso $\mathbb{R}^d$, gli autori utilizzano l'operatore di Bogovskii per gestire il problema dell'inverso della divergenza preservando il supporto compatto. Ciò consente di localizzare la costruzione a un dominio fisso, assicurando che la perturbazione non influenzi il comportamento del sistema all'infinito o il potenziale di confinamento.

Contributi Chiave e Risultati

1. Non-Unicità dell'Evoluzione Temporale (Teoremi 1.3 & 1.6):

   • Gli autori dimostrano che per $d \ge 2$, esistono campi di drift privi di divergenza $v \in C_t L^{d-}$ (arbitrariamente vicini a un drift regolare) tali che la nFPE ammette infinitamente molte soluzioni di densità di probabilità distinte partendo dalla stessa densità iniziale stazionaria (ad esempio, la misura uniforme sul toro o uno specifico stato stazionario in $\mathbb{R}^d$).
   • Per il principio di sovrapposizione, ciò implica l'esistenza di infinitamente molte soluzioni di martingala distinte per la corrispondente DDSDE.
   • Questo risultato è mostrato essere essenzialmente acuto, poiché la ben-posedness è attesa per drift in $C_t L^{d+}$.

2. Non-Unicità degli Stati Stazionari (Teoremi 1.5 & 1.7):

   • Per $d \ge 3$, il saggio costruisce drift privi di divergenza per i quali la nFPE stazionaria ammette almeno $N$ distinti stati di densità di probabilità stazionari per ogni prescritto $N \in \mathbb{N}$.
   • Questa molteplicità di stati di equilibrio è analoga ai fenomeni di multistabilità e transizione di fase nei sistemi fisici.
   • Il risultato si applica sia a kernel di interazione regolari che a casi più singolari (ad esempio, interazioni di tipo funzione Green dove $V \sim |x|^{1-d}$).

3. Estensione alle Interazioni Singolari (Teorema 1.4):

   • Il meccanismo di non-unicità viene esteso a casi con kernel di interazione più singolari (ad esempio, $V = \text{div } b$ con $b \in L^{\frac{d}{d-\gamma}, \infty}$).
   • In questo regime, gli autori ottengono $N$ soluzioni distinte con stime migliorate della regolarità temporale ($C_t$ bounds) per giustificare i termini di interazione non lineari che coinvolgono kernel singolari.

4. Modelli Fisici Specifici:
   Il framework si dimostra applicabile a una vasta classe di modelli, tra cui:

   • SDE indipendenti dalla distribuzione con drift irregolari.
   • Equazioni di tipo McKean–Vlasov di convoluzione.
   • Equazioni di tipo poroso-medio.
   • Equazioni di Keller–Segel (chemiotassi).
   • Equazioni di Navier–Stokes per la vorticità in 2D.
   • Equazioni di tipo Landau.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di aver stabilito i primi risultati di non-unicità per una vasta classe di equazioni di Fokker–Planck non lineari e dipendenti dalla distribuzione. Gli autori sottolineano che la costruzione di infinitamente molte soluzioni è fondamentalmente diversa dal caso lineare, poiché le combinazioni convesse delle soluzioni non sono generalmente soluzioni nel contesto non lineare.

I risultati evidenziano la fragilità della ben-posedness in presenza di drift irregolari, anche quando il drift è privo di divergenza e arbitrariamente piccolo in norme a bassa regolarità. I risultati suggeriscono che la soglia di regolarità critica per l'unicità in questi sistemi è acuta. Inoltre, la costruzione di molteplici stati stazionari fornisce un meccanismo matematico per la multistabilità nei sistemi di campo medio con campi esterni irregolari, estendendo la comprensione delle transizioni di fase oltre i modelli classici con diffusione costante.

Il lavoro non propone nuove applicazioni sperimentali, ma fornisce un rigoroso controesempio teorico alla congettura di unicità nel regime di regolarità critica per una vasta classe di sistemi di particelle interagenti.