Non-Uniqueness for Nonlinear Fokker--Planck Equations and Their Associated Distribution-Dependent SDEs

Resumo Técnico: Não-Unicidade para Equações de Fokker–Planck Não Lineares e Suas SDEs Associadas Dependentes da Distribuição

Enunciado do Problema
O artigo investiga a bem-postura de equações diferenciais estocásticas dependentes da distribuição (DDSDEs) e suas associadas equações de Fokker–Planck não lineares (nFPEs). Especificamente, aborda o fenômeno de não-unicidade em lei para esses sistemas. Enquanto a teoria clássica estabelece a bem-postura para DDSDEs com coeficientes suficientemente regulares (por exemplo, drifts em $L^r_t L^p_x$ com $\frac{d}{p} + \frac{2}{r} < 1$), este trabalho explora os regimes crítico e supercrítico onde o drift é grosseiro (rough). A questão central é se uma perturbação ao campo de drift, arbitrariamente pequena e suficientemente grosseira, mas com divergência nula, pode destruir a unicidade das soluções, tanto para a evolução temporal partindo de um estado estacionário quanto para os próprios estados estacionários.

O estudo considera dois cenários primários:

1. O Cenário Periódico: O domínio é o toro $\mathbb{T}^d$ ($d \ge 2$).
2. O Cenário de Espaço Inteiro: O domínio é $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 2$), focando em equações com potenciais de confinamento e difusão não linear.

As equações sob consideração assumem a forma geral:
$$dX_t = v(t, X_t) dt + (V * \rho_t)(X_t) dt + \sqrt{2}\sigma(t, X_t, \rho_t) dW_t,$$
onde $\rho_t$ é a densidade de probabilidade de $X_t$, $v$ é um drift externo, $V$ representa núcleos de interação e $\sigma$ é um coeficiente de difusão dependente da distribuição. A nFPE associada é:
$$\partial_t \rho - \text{div}\text{div}((\sigma\sigma^T)(\rho)\rho) + \text{div}(v\rho) + \text{div}((V*\rho)\rho) = 0.$$

Metodologia
A principal ferramenta empregada é o método de integração convexa, originalmente desenvolvido para a dinâmica de fluidos (por exemplo, as equações de Euler e Navier-Stokes) para construir soluções selvagens (wild solutions). Os autores adaptam esta técnica ao contexto de equações parabólicas não lineares e dependentes da distribuição.

Principais inovações técnicas e adaptações incluem:

• Lidando com a Não Linearidade: Diferente das equações de Fokker–Planck lineares onde combinações convexas de soluções permanecem como soluções, a nFPE é genuinamente não linear. Os autores não podem simplesmente sobrepor soluções. Em vez disso, eles constroem infinitamente muitas soluções distintas através da eliminação iterativa de termos de tensão em um sistema de equações acopladas.
• Construção de Sistema Infinito: Para gerar infinitas soluções (Teorema 1.3), os autores constroem uma sequência crescente de inteiros $\{N_q\}$ e aplicam o esquema de integração convexa apenas às primeiras $N_{q+1}$ equações no passo $q+1$. Eles introduzem um fator de decaimento $2^{-i}$ para os termos de tensão das equações com índices $i > N_{q+1}$ para garantir que a perturbação total converja enquanto mantém as estimativas necessárias para as equações ativas.
• Blocos de Construção: A construção utiliza "jatos espaço-temporais intermitentes" específicos (no caso dependente do tempo) e "fluxos do tipo Mikado" (no caso estacionário). Estes blocos de construção são projetados para ter suportes disjuntos e propriedades oscilatórias específicas para cancelar termos de erro (oscilação, não linear, linear e erro de comutador) enquanto controlam a regularidade do drift.
• Limiares de Regularidade: A construção visa drifts no espaço $C_t L^{d-}$ (contínuo no tempo, $L^p$ no espaço com $p < d$), que reside no limiar natural de regularidade crítica. O artigo demonstra que a bem-postura falha em qualquer vizinhança de um drift suave dentro desta topologia de baixa regularidade.
• Adaptação para Espaço Inteiro: Para o caso de $\mathbb{R}^d$, os autores utilizam o operador de Bogovskii para lidar com o problema do inverso da divergência preservando o suporte compacto. Isso permite que a construção seja localizada a um domínio fixo, garantindo que a perturbação não afete o comportamento do sistema no infinito ou o potencial de confinamento.

Principais Contribuições e Resultados

1. Não-Unicidade da Evolução Temporal (Teoremas 1.3 & 1.6):

   • Os autores provam que para $d \ge 2$, existem campos de drift com divergência nula $v \in C_t L^{d-}$ (arbitrariamente próximos de um drift suave) tais que a nFPE admite infinitas soluções de densidade de probabilidade distintas partindo da mesma densidade inicial estacionária (por exemplo, a medida uniforme no toro ou um estado estacionário específico em $\mathbb{R}^d$).
   • Pelo princípio de superposição, isso implica a existência de infinitas soluções de martingale distintas para a DDSDE correspondente.
   • Este resultado é mostrado como sendo essencialmente agudo (sharp), pois a bem-postura é esperada para drifts em $C_t L^{d+}$.

2. Não-Unicidade de Estados Estacionários (Teoremas 1.5 & 1.7):

   • Para $d \ge 3$, o artigo constrói drifts com divergência nula para os quais a nFPE estacionária admite pelo menos $N$ soluções de densidade de probabilidade estacionárias distintas para qualquer $N \in \mathbb{N}$ prescrito.
   • Esta multiplicidade de estados de equilíbrio é análoga aos fenômenos de multistabilidade e transição de fase em sistemas físicos.
   • O resultado aplica-se tanto a núcleos de interação regulares quanto a casos mais singulares (por exemplo, interações de função de Green onde $V \sim |x|^{1-d}$).

3. Extensão para Interações Singulares (Teorema 1.4):

   • O mecanismo de não-unicidade é estendido para casos com núcleos de interação mais singulares (por exemplo, $V = \text{div } b$ com $b \in L^{\frac{d}{d-\gamma}, \infty}$).
   • Neste regime, os autores obtêm $N$ soluções distintas com estimativas de regularidade temporal melhoradas ($C_t$ bounds) para justificar os termos de interação não lineares envolvendo núcleos singulares.

4. Modelos Físicos Específicos:
   O arcabouço mostra-se aplicável a uma ampla classe de modelos, incluindo:

   • SDEs independentes da distribuição com drifts grosseiros.
   • Equações de tipo McKean–Vlasov de convolução.
   • Equações do tipo meio poroso.
   • Equações de Keller–Segel (quimiotaxia).
   • Equações de Navier–Stokes de vorticidade 2D.
   • Equações do tipo Landau.

Significado e Alegações
O artigo afirma estabelecer os primeiros resultados de não-unicidade para uma ampla classe de equações de Fokker–Planck não lineares e dependentes da distribuição. Os autores enfatizam que a construção de infinitas soluções é fundamentalmente diferente do caso linear, pois as combinações convexas de soluções não são geralmente soluções no cenário não linear.

Os resultados destacam a fragilidade da bem-postura na presença de drifts grosseiros, mesmo quando o drift possui divergência nula e é arbitrariamente pequeno em normas de baixa regularidade. Os achados sugerem que o limiar de regularidade crítica para a unicidade nestes sistemas é agudo. Além disso, a construção de múltiplos estados estacionários fornece um mecanismo matemático para a multistabilidade em sistemas de campo médio com campos externos grosseiros, estendendo a compreensão das transições de fase além dos modelos clássicos com difusão constante.

O trabalho não propõe novas aplicações experimentais, mas sim fornece um contraexemplo teórico rigoroso à conjectura de unicidade no regime de regularidade crítica para uma ampla classe de limites de sistemas de partículas interagentes.