QCD sum-rule determination of the axial-vector mixing angle in the \texorpdfstring{$B_c(1P)$}{Bc(1P)} sector

Sintesi Tecnica: Determinazione dell'angolo di miscelamento assiale nel settore $B_c(1P)$ tramite le somme di regole QCD

Enunciato del Problema
La spettroscopia della famiglia di mesoni $B_c$, composta da due quark pesanti di diverso sapore ($\bar{b}c$), offre un terreno di prova unico per la QCD non perturbativa. A differenza del charmonium o del bottomonium, il sistema $B_c$ non possiede la parità di carica come una buona quantità a conservazione. Di conseguenza, le due configurazioni assiali con numeri quantici $J^P=1^+$, specificamente il singoletto di spin $1^1P_1$ e il tripletto di spin $1^3P_1$, non sono autostati dell'Hamiltoniana, ma si miscelano per formare gli stati fisici $B_c(1P)$.

Recenti osservazioni sperimentali da parte della Collaborazione LHCb di strutture orbitale eccitate $B_c^+$ nello spettro di massa $B_c^+\gamma$ hanno rinnovato la necessità di input teorici precisi per interpretare questi stati. Tuttavia, le attuali previsioni teoriche per l'angolo di miscelamento $1^1P_1 - 1^3P_1$ ($\theta$) mostrano una significativa dipendenza dal modello, variando da circa $20^\circ$ a oltre $50^\circ$. Questa dispersione complica l'identificazione degli stati fisici e il calcolo dei pattern di transizione radiativa. Gli autori mirano a fornire una determinazione indipendente di questo angolo di miscelamento utilizzando il metodo delle somme di regole QCD per integrare gli esistenti studi di lattice e dei modelli a quark.

Metodologia
Gli autori utilizzano il framework delle somme di regole QCD per derivare una relazione per l'angolo di miscelamento. L'approccio teorico prevede i seguenti passaggi:

1. Correnti di Interpolazione: Due correnti di interpolazione indipendenti sono costruite per il sistema assiale $B_c(1P)$:

   • $J^A_\mu = \bar{b}\gamma_\mu\gamma_5 c$
   • $J^B_\mu = i\bar{b}\sigma_{\mu\alpha} \frac{p^\alpha}{m_b+m_c}\gamma_5 c$
     Il fattore $1/(m_b+m_c)$ nella seconda corrente assicura che entrambe le correnti condividano la stessa dimensione di massa.

2. Funzioni di Correlazione: Gli autori analizzano le funzioni di correlazione a due punti $\Pi_{\mu\nu}^{ij}(p)$ (dove $i,j = A,B$) nella regione euclidea profonda. Queste funzioni sono decomposte in ampiezze trasversali ($\Pi_1$) e longitudinali ($\Pi_0$), con il contributo di spin-uno isolato tramite proiezione.

3. Espansione dei Prodotti Operatori (OPE): Le funzioni di correlazione sono calcolate sul lato QCD tramite l'OPE nel gauge a punto fisso. L'espansione include:

   • Contributi perturbativi (ordine dominante).
   • Contributi non perturbativi dal condensato a due gluoni ($\langle G^2 \rangle$).
   • Contributi non perturbativi dal condensato a tre gluoni ($\langle g_s^3 G^3 \rangle$).
     I propagatori dei quark massivi includono contributi di campo di background fino al termine a tre gluoni.

4. Derivazione dell'Angolo di Miscelamento: Le correnti fisiche sono definite come una rotazione delle correnti di base mediante un angolo $\theta$. L'angolo di miscelamento è determinato dalla condizione che la funzione di correlazione off-diagonal si annulli nella base fisica. Ciò porta alla somma di regole:
   $$\tan 2\theta = -\frac{2\Pi_{AB}^1(M^2, s_0)}{\Pi_{AA}^1(M^2, s_0) - \Pi_{BB}^1(M^2, s_0)}$$
   dove $M^2$ è il parametro di Borel e $s_0$ è la soglia del continuo.

5. Analisi Numerica: La somma di regole è valutata utilizzando parametri di input QCD standard (masse dei quark pesanti nella schema $\overline{MS}$, condensati di gluoni). L'analisi è eseguita all'interno di una finestra di stabilità definita da:

   • $7 \text{ GeV}^2 \le M^2 \le 9 \text{ GeV}^2$
   • $53 \text{ GeV}^2 \le s_0 \le 55 \text{ GeV}^2$
     Le incertezze sono stimate tramite campionamento Monte Carlo dei parametri di input e dei parametri ausiliari della somma di regole.

Risultati Chiave
L'analisi numerica fornisce un angolo di miscelamento di:
$$\theta_{B_c(1P)} = (43.3 \pm 0.2)^\circ$$

• Stabilità: Il risultato è stabile rispetto alle variazioni del parametro di Borel e della soglia del continuo all'interno delle finestre scelte.
• Contributi dei Condensati: Il termine perturbativo fornisce il contributo dominante. L'inclusione dei termini dei condensati a due e tre gluoni risulta in uno spostamento trascurabile nell'angolo estratto.
• Confronto: Il valore derivato di $\approx 43.3^\circ$ rientra nel vasto spettro delle attuali previsioni teoriche (che variano da $\approx 17^\circ$ a $55^\circ$), ma è distinto da molti risultati di potenziali modelli che si raggruppano intorno a $20^\circ-30^\circ$. È notevolmente più alto di diverse previsioni di modelli a quark, ma coerente con alcuni approcci di canali accoppiati e di lattice QCD.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo afferma che l'angolo di miscelamento determinato indica una "miscelazione significativa" tra le componenti $1^1P_1$ e $1^3P_1$. Ciò implica che gli stati assiali fisici $B_c(1P)$ sono forti miscele di queste configurazioni piuttosto che stati quasi puri.

Gli autori posizionano questo risultato come un input non perturbativo complementare per l'interpretazione delle strutture $B_c(1P)$ recentemente osservate nello spettro $B_c^+\gamma$. Nello specifico, l'angolo di miscelamento è un parametro critico per:

• Assegnare i numeri quantici alle strutture osservate sperimentalmente.
• Calcolare le ampiezze di transizione radiativa.
• Vincolare i modelli fenomenologici utilizzati nelle analisi sperimentali vincolate dalla teoria.

Gli autori notano con modestia che il loro calcolo è eseguito al primo ordine nella teoria perturbativa. Sebbene le correzioni radiative comuni alle funzioni di correlazione si cancellino ampiamente nel rapporto usato per estrarre l'angolo, le correzioni dipendenti dal canale potrebbero introdurre spostamenti. Pertimo, suggeriscono che un calcolo dedicato al Next-to-Leading-Order (NLO) sarebbe necessario per una stima sistematica completa delle incertezze in studi futuri di precisione.