QCD sum-rule determination of the axial-vector mixing angle in the \texorpdfstring{$B_c(1P)$}{Bc(1P)} sector

Resumen Técnico: Determinación del ángulo de mezcla axial-vectorial en el sector $B_c(1P)$ mediante la regla de suma de QCD

Planteamiento del Problema
La espectroscopia de la familia de mesones $B_c$, compuesta por dos quarks pesados de diferentes sabores ($\bar{b}c$), ofrece un campo de prueba único para la QCD no perturbativa. A diferencia del charmonio o el bottomonio, el sistema $B_c$ carece de la paridad de carga como un número cuántico bueno. En consecuencia, las dos configuraciones axiales-vectoriales con números cuánticos $J^P=1^+$, específicamente el singlete de espín $1^1P_1$ y el triplete de espín $1^3P_1$, no son autoestados del Hamiltoniano, sino que se mezclan para formar los estados físicos $B_c(1P)$.

Las recientes observaciones experimentales por parte de la Colaboración LHCb de estructuras excitadas orbitalmente de $B_c^+$ en el espectro de masa $B_c^+\gamma$ han renovado la necesidad de aportes teóricos precisos para interpretar estos estados. Sin embargo, las predicciones teóricas existentes para el ángulo de mezcla $1^1P_1 - 1^3P_1$ ($\theta$) exhiben una dependencia de modelo significativa, que oscila entre aproximadamente $20^\circ$ y más de $50^\circ$. Esta dispersión complica la identificación de los estados físicos y el cálculo de los patrones de transición radiativa. Los autores pretenden proporcionar una determinación independiente de este ángulo de mezcla utilizando el método de la regla de suma de QCD para complementar los estudios existentes de red (lattice) y de modelos de quarks.

Metodología
Los autores emplean el marco de la regla de suma de QCD para derivar una relación para el ángulo de mezcla. El enfoque teórico involucra los siguientes pasos:

1. Corrientes de Interpolación: Se construyen dos corrientes de interpolación independientes para el sistema axial-vectorial $B_c(1P)$:

   • $J^A_\mu = \bar{b}\gamma_\mu\gamma_5 c$
   • $J^B_\mu = i\bar{b}\sigma_{\mu\alpha} \frac{p^\alpha}{m_b+m_c}\gamma_5 c$
     El factor $1/(m_b+m_c)$ en la segunda corriente asegura que ambas corrientes compartan la misma dimensión de masa.

2. Funciones de Correlación: Los autores analizan las funciones de correlación de dos puntos $\Pi_{\mu\nu}^{ij}(p)$ (donde $i,j = A,B$) en la región euclidiana profunda. Estas funciones se descomponen en amplitudes transversales ($\Pi_1$) y longitudinales ($\Pi_0$), aislándose la contribución de espín uno mediante proyección.

3. Expansión de Operadores de Producto (OPE): Las funciones de correlación se calculan en el lado de la QCD utilizando la OPE en el gauge de punto fijo. La expansión incluye:

   • Contribuciones perturbativas (orden líder).
   • Contribuciones no perturbativas del condensado de dos gluones ($\langle G^2 \rangle$).
   • Contribuciones no perturbativas del condensado de tres gluones ($\langle g_s^3 G^3 \rangle$).
     Los propagadores de quarks masivos incluyen contribuciones de campo de fondo hasta el término de tres gluones.

4. Derivación del Ángulo de Mezcla: Las corrientes físicas se definen como una rotación de las corrientes de base mediante un ángulo $\theta$. El ángulo de mezcla se determina mediante la condición de que la función de correlación fuera de la diagonal se anule en la base física. Esto conduce a la regla de suma:
   $$\tan 2\theta = -\frac{2\Pi_{AB}^1(M^2, s_0)}{\Pi_{AA}^1(M^2, s_0) - \Pi_{BB}^1(M^2, s_0)}$$
   donde $M^2$ es el parámetro de Borel y $s_0$ es el umbral del continuo.

5. Análisis Numérico: La regla de suma se evalúa utilizando parámetros de entrada estándar de QCD (masas de quarks pesados en el esquema $\overline{MS}$, condensados de gluones). El análisis se realiza dentro de una ventana de estabilidad definida por:

   • $7 \text{ GeV}^2 \le M^2 \le 9 \text{ GeV}^2$
   • $53 \text{ GeV}^2 \le s_0 \le 55 \text{ GeV}^2$
     Las incertidumbres se estiman mediante el muestreo de Monte Carlo de los parámetros de entrada y los parámetros auxiliares de la regla de suma.

Resultados Clave
El análisis numérico arroja un ángulo de mezcla de:
$$\theta_{B_c(1P)} = (43.3 \pm 0.2)^\circ$$

• Estabilidad: El resultado es estable respecto a las variaciones del parámetro de Borel y el umbral del continuo dentro de las ventanas elegidas.
• Contribuciones de los Condensados: El término perturbativo proporciona la contribución dominante. La inclusión de los términos de los condensados de dos y tres gluones resulta en un cambio solo insignificante en el ángulo extraído.
• Comparación: El valor derivado de $\approx 43.3^\circ$ cae dentro del amplio espectro de las predicciones teóricas existentes (que oscilan entre $\approx 17^\circ$ y $55^\circ$), pero es distinto de muchos resultados de modelos potenciales que se agrupan alrededor de $20^\circ-30^\circ$. Es notablemente superior a varias predicciones de modelos de quarks, pero consistente con algunos enfoques de canales acoplados y de QCD en red.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el ángulo de mezcla determinado indica una "mezcla considerable" entre los componentes $1^1P_1$ y $1^3P_1$. Esto implica que los estados axiales-vectoriales físicos $B_c(1P)$ son mezclas fuertes de estas configuraciones en lugar de estados casi puros.

Los autores posicionan este resultado como un aporte no perturbativo complementario para la interpretación de las estructuras $B_c(1P)$ recientemente observadas en el espectro $B_c^+\gamma$. Específicamente, el ángulo de mezcla es un parámetro crítico para:

• Asignar números cuánticos a las estructuras observadas experimentalmente.
• Calcular amplitudes de transiciones radiativas.
• Restringir modelos fenomenológicos utilizados en análisis experimentales constreñidos por la teoría.

Los autores señalan modestamente que su cálculo se realiza en orden líder en la teoría de perturbaciones. Aunque las correcciones radiativas comunes a las funciones de correlación se cancelan en gran medida en la razón utilizada para extraer el ángulo, las correcciones dependientes del canal podrían introducir desplazos. Por lo tanto, sugieren que un cálculo dedicado de Orden de Siguiente a Líder (NLO) sería necesario para una estimación sistemática completa de la incertidumbre en futuros estudios de precisión.