QCD sum-rule determination of the axial-vector mixing angle in the \texorpdfstring{$B_c(1P)$}{Bc(1P)} sector

Resumo Técnico: Determinação do Ângulo de Mistura Axial-Vetorial no Setor $B_c(1P)$ via Regras de Soma de QCD

Enunciado do Problema
A espectroscopia da família de mésons $B_c$, composta por dois quarks pesados de sabores diferentes ($\bar{b}c$), oferece um campo de teste único para a Cromodinâmica Quântica (QCD) não perturbativa. Diferente do charmonium ou bottomonium, o sistema $B_c$ carece de paridade de carga como um bom número quântico. Consequentemente, as duas configurações axiais-vetoriais com números quânticos $J^P=1^+$, especificamente o singlete de spin $1^1P_1$ e o triplete de spin $1^3P_1$, não são autovetores do Hamiltoniano, mas misturam-se para formar os estados físicos $B_c(1P)$.

Observações experimentais recentes pela Colaboração LHCb de estruturas orbitais excitadas de $B_c^+$ no espectro de massa $B_c^+\gamma$ renovaram a necessidade de entradas teóricas precisas para interpretar esses estados. No entanto, as previsões teóricas existentes para o ângulo de mistura $1^1P_1 - 1^3P_1$ ($\theta$) exibem uma dependência de modelo significativa, variando de aproximadamente $20^\circ$ a mais de $50^\circ$. Essa dispersão complica a identificação dos estados físicos e o cálculo dos padrões de transição radiativa. Os autores visam fornecer uma determinação independente deste ângulo de mistura usando o método de regras de soma de QCD para complementar os estudos existentes de rede (lattice) e de modelos de quarks.

Metodologia
Os autores empregam o arcabouço das regras de soma de QCD para derivar uma relação para o ângulo de mistura. A abordagem teórica envolve as seguintes etapas:

1. Correntes de Interpolação: Duas correntes de interpolação independentes são construídas para o sistema axial-vetorial $B_c(1P)$:

   • $J^A_\mu = \bar{b}\gamma_\mu\gamma_5 c$
   • $J^B_\mu = i\bar{b}\sigma_{\mu\alpha} \frac{p^\alpha}{m_b+m_c}\gamma_5 c$
     O fator $1/(m_b+m_c)$ na segunda corrente garante que ambas as correntes compartilhem a mesma dimensão de massa.

2. Funções de Correlação: Os autores analisam as duas funções de correlação de dois pontos $\Pi_{\mu\nu}^{ij}(p)$ (onde $i,j = A,B$) na região euclidiana profunda. Estas funções são decompostas em amplitudes transversais ($\Pi_1$) e longitudinais ($\Pi_0$), com a contribuição de spin-um isolada via projeção.

3. Expansão de Operadores de Produto (OPE): As funções de correlação são calculadas no lado da QCD usando a OPE no gauge de ponto fixo. A expansão inclui:

   • Contribuições perturbativas (ordem líder).
   • Contribuições não perturbativas do condensado de dois glúons ($\langle G^2 \rangle$).
   • Contribuições não perturbativas do condensado de três glúons ($\langle g_s^3 G^3 \rangle$).
     Os propagadores de quarks massivos incluem contribuições de campo de fundo até o termo de três glúons.

4. Derivação do Ângulo de Mistura: As correntes físicas são definidas como uma rotação das correntes de base por um ângulo $\theta$. O ângulo de mistura é determinado pela condição de que a função de correlação fora da diagonal se anule na base física. Isso leva à regra de soma:
   $$\tan 2\theta = -\frac{2\Pi_{AB}^1(M^2, s_0)}{\Pi_{AA}^1(M^2, s_0) - \Pi_{BB}^1(M^2, s_0)}$$
   onde $M^2$ é o parâmetro de Borel e $s_0$ é o limiar de contínuo.

5. Análise Numérica: A regra de soma é avaliada usando parâmetros de entrada padrão de QCD (massas de quarks pesados no esquema $\overline{MS}$, condensados de glúons). A análise é realizada dentro de uma janela de estabilidade definida por:

   • $7 \text{ GeV}^2 \le M^2 \le 9 \text{ GeV}^2$
   • $53 \text{ GeV}^2 \le s_0 \le 55 \text{ GeV}^2$
     As incertezas são estimadas via amostragem de Monte Carlo dos parâmetros de entrada e parâmetros auxiliares da regra de soma.

Principais Resultados
A análise numérica produz um ângulo de mistura de:
$$\theta_{B_c(1P)} = (43.3 \pm 0.2)^\circ$$

• Estabilidade: O resultado é estável em relação às variações do parâmetro de Borel e do limiar de contínuo dentro das janelas escolhidas.
• Contribuições de Condensado: O termo perturbativo fornece a contribuição dominante. A inclusão dos termos de condensado de dois e três glúons resulta em um deslocamento apenas negligível no ângulo extraído.
• Comparação: O valor derivado de $\approx 43.3^\circ$ situa-se dentro do amplo espectro de previsões teóricas existentes (que variam de $\approx 17^\circ$ a $55^\circ$), mas é distinto de muitos resultados de modelos de quarks que se agrupam em torno de $20^\circ-30^\circ$. É notavelmente superior a várias previsões de modelos de quarks, mas consistente com algumas abordagens de canais acoplados e de QCD em rede (lattice).

Significância e Alegações
O artigo alega que o ângulo de mistura determinado indica uma "mistura considerável" entre as componentes $1^1P_1$ e $1^3P_1$. Isso implica que os estados axiais-vetoriais físicos $B_c(1P)$ são misturas fortes dessas configurações, em vez de estados quase puros.

Os autores posicionam este resultado como uma entrada não perturbativa complementar para a interpretação das estruturas $B_c(1P)$ recentemente observadas no espectro $B_c^+\gamma$. Especificamente, o ângulo de mistura é um parâmetro crítico para:

• Atribuir números quânticos às estruturas observadas experimentalmente.
• Calcular amplitudes de transição radiativa.
• Restringir modelos fenomenológicos usados em análises experimentais constrangidas pela teoria.

Os autores notam modestamente que seu cálculo é realizado em ordem líder na teoria de perturbação. Embora as correções radiativas comuns às funções de correlação largely se cancelem na razão usada para extrair o ângulo, correções dependentes do canal poderiam introduzir deslocamentos. Portanto, eles sugerem que um cálculo dedicado de Próxima Ordem (NLO) seria necessário para uma estimativa sistemática completa de incerteza em futuros estudos de precisão.