Metagraph-Based Domain-Decomposed Galerkin Reduced-Order Model

Sintesi Tecnica: Modello a Ordine Ridotto con Decomposizione di Dominio basato su Metagraph (MBDD-G-ROM)

Definizione del Problema
I Modelli a Ordine Ridotto (ROM) guidati dai dati, in particolare i Modelli di Galerkin a Ordine Ridotto (G-ROM) basati sulla Decomposizione mediante Propri Ordini (POD), offrono una significativa accelerazione computazionale per gli studi parametrici proiettando le equazioni governanti su spazi di approssimazione a bassa dimensione. Tuttavia, man mano che i modelli sottostanti a Ordine Completo (FOM) scalano verso milioni di gradi di libertà (ad esempio, in flussi ad alto numero di Reynolds), la costruzione e l'applicazione dei ROM affrontano severi colli di bottiglia in termini di memoria e computazione.

Gli approcci esistenti presentano limitazioni specifiche:

1. POD Globale: La costruzione di uno spazio a bassa dimensione globale può generare matrici di coefficienti ridotti dense, rendendo inefficiente la parallelizzazione in memoria distribuita della fase online (assemblaggio e soluzione) a causa dell'eccessiva comunicazione tra processi.
2. G-ROM con Decomposizione di Dominio (DD-G-ROM): Sebbene questi metodi costruiscano spazi di approssimazione locali per gestire fenomeni localizzati, essi tipicamente assumono che la decomposizione utilizzata per la costruzione delle basi locali coincida con la decomposizione utilizzata per il calcolo parallelo. Questo accoppiamento rigido impedisce un bilanciamento del carico flessibile e limita la capacità di scalare il numero di sottodomini locali indipendentemente dall'hardware parallelo disponibile. Inoltre, la maggior parte dei quadri DD-G-ROM esistenti non parallelizza l'intera fase online, in particolare il solutore lineare per il sistema ridotto.

Metodologia
Gli autori propongono il Modello a Ordine Ridotto con Decomposizione di Dominio basato su Metagraph (MBDD-G-ROM), un framework progettato per disaccoppiare la costruzione degli spazi di approssimazione locali dalla strategia di esecuzione parallela. La metodologia si basa su una rappresentazione gerarchica basata su grafi:

1. Definizioni dei Grafi:

   • Grafo dei Punti di Calcolo: Rappresenta le interazioni tra i punti computazionali (ad esempio, nodi di elementi finiti), corrispondenti al pattern di sparsità della Jacobiana o della matrice di rigidezza del FOM.
   • Metagraph: Rappresenta la connettività tra i "sottodomini degli spazi di approssimazione locale" (sottodomini di computazione POD). In questo grafo, i metanodi corrispondono ai sottodomini e i metaarchi codificano il pattern di sparsità a blocchi indotto dalle sovrapposizioni tra i supporti delle funzioni di base POD locali.

2. Strategia di Partizionamento a Due Livelli:

   • Livello 1 (Sottodomini di Computazione POD): Il grafo dei punti di calcolo viene partizionato per definire i sottodomini in cui le basi POD locali vengono costruite indipendentemente (POD Locale). Ciò consente decomposizioni di dominio arbitrarie e flessibili, adattate alla fisica o alla geometria.
   • Livello 2 (Sottodomini di Computazione Parallela): Il metagraph risultante viene partizionato nuovamente per definire i sottodomini assegnati ai processi paralleli (rank MPI). Questo secondo livello disaccoppia il numero e la geometria dei sottodomini POD dal numero di processi paralleli.

3. Implementazione Parallela:

   • Il metodo estende le tecniche di decomposizione di dominio sovrapposte per gestire le matrici dense a blocchi che rappresentano le interazioni tra i sottodomini POD locali.
   • Le operazioni parallele (somme di vettori, prodotti scalari e prodotti matrice-vettore) sono implementate utilizzando l'interfaccia di passaggio di messaggi (MPI). La comunicazione dei dati è ottimizzata scambiando solo le componenti vettoriali corrispondenti ai blocchi non nulli nel sistema ridotto, determinati dall'adiacenza del metagraph.
   • Bilanciamento del Carico Statico: Il framework incorpora pesi per i metanodi che rappresentano i costi computazionali stimati (ad esempio, il numero di vettori di base o elementi iper-ridotti). Un algoritmo di partizionamento di grafi pesati (METIS) viene utilizzato per distribuire questi metanodi pesati tra i processi paralleli per bilanciare il carico.

4. Iper-Riduzione: Per aumentare ulteriormente l'efficienza, il metodo integra il Metodo di Cubatura Empirica (ECM) per l'iper-riduzione, approssimando gli integrali su un sottoinsieme di elementi per ridurre il costo dell'assemblaggio del sistema ridotto.

Contributi Chiave

• Nuova Rappresentazione a Grafi: L'introduzione del concetto di metagraph fornisce una formulazione generale, basata sulla teoria dei grafi, per i DD-G-ROM che accoglie decomposizioni di dominio arbitrarie.
• Partizionamento Disaccoppiato: La strategia di partizionamento a due livelli consente di specificare i sottodomini di costruzione POD indipendentemente dai sottodomini di esecuzione parallela. Ciò permette l'uso di un gran numero di sottodomini locali per l'accuratezza senza richiedere una corrispondenza uno-a-uno con i processi paralleli.
• Parallelizzazione Completa della Fase Online: Il framework raggiunge la parallelizzazione in memoria distribuita dell'intera fase online, inclusi l'assemblaggio del sistema ridotto e la soluzione del sistema lineare ridotto tramite solutori iterativi.
• Meccanismo di Bilanciamento del Carico: Il metodo fornisce un meccanismo naturale di bilanciamento del carico statico assegnando pesi ai metanodi in base alle stime del costo computazionale (ad esempio, conteggio dei vettori di base o conteggio degli elementi di iper-riduzione).

Risultati Numerici
Il metodo è stato verificato utilizzando due casi di test: un'equazione di diffusione non stazionaria e le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili per il flusso attorno a un cilindro 3D.

• Accuratezza: Nel caso dell'equazione di diffusione, l'aumento del numero di sottodomini di computazione POD (e quindi del numero totale di vettori di base) ha migliorato l'accuratezza dell'approssimazione, confermando la validità dell'implementazione POD locale.
• Efficienza Parallela: I test di strong-scaling hanno dimostrato che il metodo mantiene un'elevata efficienza parallela nella fase online. L'efficienza del ROM (accelerazione rispetto al FEM) è rimasta stabile o è aumentata con il numero di processi paralleli, in particolare per problemi con un gran numero di gradi di libertà del FOM.
• Scalabilità: Il solutore lineare ridotto ha mostrato un comportamento di strong-scaling favorevole, sebbene la scalabilità sia degradata a numeri molto elevati di processi quando la dimensione ridotta per processo è diventata troppo piccola per ammortizzare l'overhead di comunicazione.
• Bilanciamento del Carico: Nel test di bilanciamento del carico statico, l'assegnazione di pesi ai metanodi basata sul numero di elementi di iper-riduzione ($n^{(i)}_{HROM}$) ha migliorato l'efficienza computazionale di circa il 15% rispetto al partizionamento non pesato, dimostrando l'utilità dell'approccio di partizionamento pesato.

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo afferma che il MBDD-G-ROM fornisce un framework generale per alleviare i vincoli di memoria nelle analisi DD-G-ROM su larga scala. Disaccoppiando i sottodomini di costruzione POD dai sottodomini di esecuzione parallela, il metodo consente l'uso delle risorse di calcolo ad alte prestazioni in modo più flessibile rispetto agli approcci precedenti. Gli autori sostengono che il loro framework affronta con successo il collo di bottiglia delle matrici ridotte dense nei POD globali e la rigidità delle decomposizioni accoppiate nei DD-G-ROM esistenti, ottenendo un'elevata efficienza parallela sia nella fase offline (costruzione della base) che nella fase online (simulazione). Lo studio conclude che il metodo mantiene l'accuratezza della soluzione consentendo al contempo un'analisi parallela scalabile per problemi complessi e su larga scala.