Metagraph-Based Domain-Decomposed Galerkin Reduced-Order Model

Technische Samenvatting: Metagraaf-gebaseerd Domein-gedecomponeerd Galerkin Reduced-Order Model (MBDD-G-ROM)

Probleemstelling
Datagestuurde Reduced-Order Models (ROM's), in het bijzonder Galerkin Reduced-Order Models (G-ROM's) gebaseerd op Proper Orthogonal Decomposition (POD), bieden significante computationele versnelling voor parametrische studies door de onderliggende sturende vergelijkingen te projecteren op laagdimensionale benaderingsruimten. Echter, naarmate de onderliggende Full-Order Models (FOM's) schalen naar miljoenen vrijheidsgraden (bijv. bij stromingen met een hoog Reynoldsgetal), stuiten de constructie en toepassing van ROM's op ernstige geheugen- en computationele bottlenecks.

Bestaande benaderingen kampen met specifieke beperkingen:

1. Globale POD: Het construeren van een globale laagdimensionale ruimte resulteert vaak in dichte gereduceerde coëfficiëntmatrices, wat de parallelle distributie van het geheugen in de online fase (assemblage en oplossing) inefficiënt maakt vanwege excessieve communicatie tussen processen.
2. Domein-gedecomponeerde G-ROM's (DD-G-ROM's): Hoewel deze methoden lokale benaderingsruimten construeren om gelokaliseerde fenomenen te behandelen, gaan ze doorgaans uit van een decompositie waarbij de gebruikte decompositie voor de constructie van lokale bases samenvalt met de decompositie die wordt gebruikt voor parallel rekenen. Deze rigide koppeling verhindert flexibele load balancing en beperkt het vermogen om het aantal lokale subdomeinen onafhankelijk te schalen van de beschikbare parallelle hardware. Bov�elijk zijn de meeste bestaande DD-G-ROM frameworks niet in staat om de volledige online fase te paralleliseren, in het bijzonder de lineaire solver voor het gereduceerde systeem.

Methodologie
De auteurs stellen de Metagraaf-gebaseerde Domein-gedecomponeerde Galerkin Reduced-Order Model (MBDD-G-ROM) voor, een framework dat is ontworpen om de constructie van lokale benaderingsruimten te ontkoppelen van de parallelle executiestrategie. De methodologie steunt op een hiërarchische graaf-gebaseerde representatie:

1. Graafdefinities:

   • Berekeningspunt-graaf (Calculation-Point Graph): Representeert interacties tussen computationele punten (bijv. eindige element knopen), overeenkomend met het sparsiteitspatroon van de FOM Jacobiaan of stijfheidsmatrix.
   • Metagraaf: Representeert connectiviteit tussen "lokale benaderingsruimte-subdomeinen" (POD-computatiesubdomeinen). In deze graaf corresponderen metanodes met subdomeinen en coderen meta-edges het blok-sparsiteitspatroon geïnduceerd door overlappingen tussen de ondersteuningsgebieden van lokale POD-basis functies.

2. Tweeledige Partitioneringsstrategie:

   • Niveau 1 (POD-computatiesubdomeinen): De berekeningspunt-graaf wordt gepartitioneerd om subdomeinen te definiëren waar lokale POD-bases onafhankelijk worden geconstrueerd (Lokale POD). Dit maakt flexibele, willekeurige domeindecomposities mogelijk die afgestemd zijn op de fysica of geometrie.
   • Niveau 2 (Parallelle computatiesubdomeinen): De resulterende metagraaf wordt opnieuw gepartitioneerd om de subdomeinen te definiëren die aan parallelle processen (MPI ranks) worden toegewezen. Deze tweede laag ontkoppelt het aantal en de geometrie van de POD-subdomeinen van het aantal parallelle processen.

3. Parallelle Implementatie:

   • De methode breidt overlappende domeindecompositie-technieken uit om de dichte blokmatrices te behandelen die interacties tussen lokale POD-subdomeinen representeren.
   • Parallelle operaties (vector-sommen, inwendige producten en matrix-vector producten) worden geïmplementeerd met behulp van de Message Passing Interface (MPI). Datacommunicatie wordt geoptimaliseerd door alleen vectorcomponenten uit te wisselen die overeenkomen met de niet-nul blokken in het gereduceerde systeem, bepaald door de nabijheid in de metagraaf.
   • Statische Load Balancing: Het framework incorporeert metanode-gewichten die geschatte computationele kosten representeren (bijv. het aantal basisvectoren of hyper-reduced elementen). Een gewogen graafpartitioneringsalgoritme (METIS) wordt gebruikt om de gewogen metanodes over parallelle processen te verdelen om de belasting te balanceren.

4. Hyper-Reductie: Om de efficiëntie verder te verhogen, integreert de methode de Empirical Cubature Method (ECM) voor hyper-reductie, waarbij integralen over een subset van elementen worden benaderd om de kosten van de assemblage van het gereduceerde systeem te verlagen.

Belangrijkste Bijdragen

• Nieuwe Graafrepresentatie: De introductie van het metagraaf-concept biedt een algemene, graaf-theoretische formulering voor DD-G-ROM's die willekeurige domeindecomposities faciliteert.
• Ontkoppelde Partitionering: De tweeledige partitioneringsstrategie maakt het mogelijk om de POD-constructiesubdomeinen onafhankelijk te specificeren van de parallelle computatiesubdomeinen. Dit maakt het gebruik van een groot aantal lokale subdomeinen voor nauwkeurigheid mogelijk zonder dat daar een één-op-één correspondentie met parallelle processen voor nodig is.
• Volledige Online-Fase Parallelisatie: Het framework bereikt gedistribueerde-geheugen parallelisatie van de gehele online fase, inclusief de assemblage van het gereduceerde systeem en de oplossing van het gereduceerde lineaire systeem via iteratieve solvers.
• Load Balancing Mechanisme: De methode biedt een natuurlijk mechanisme voor statische load balancing door metanode-gewichten toe te wijzen op basis van computationele kostenramingen (bijv. basisvector-aantallen of hyper-reductie element-aantallen).

Numerieke Resultaten
De methode is geverifieerd met twee testgevallen: een instationaire diffusievergelijking en de incompressibele Navier-Stokes vergelijkingen voor stroming rond een 3D-cilinder.

• Nauwkeurigheid: In het geval van de diffusievergelijking leidde het verhogen van het aantal POD-computatiesubdomeinen (en daarmee het totale aantal basisvectoren) tot een verbeterde benaderingsnauwkeurigheid, wat de validiteit van de lokale POD-implementatie bevestigt.
• Parallelle Efficiëntie: Strong-scaling tests toonden aan dat de methode een hoge parallelle efficiëntie behoudt in de online fase. De ROM-efficiëntie (versnelling ten opzichte van FEM) bleef stabiel of nam toe met het aantal parallelle processen, met name voor problemen met een groot aantal FOM vrijheidsgraden.
• Schaalbaarheid: De gereduceerde lineaire solver vertoonde gunstig strong-scaling gedrag, hoewel de schaalbaarheid afnam bij zeer hoge procesaantallen wanneer de gereduceerde dimensie per proces te klein werd om de communicatie-overhead te ammortiseren.
• Load Balancing: In de statische load-balancing test verbeterde het toewijzen van metanode-gewichten op basis van het aantal hyper-reduced elementen ($n^{(i)}_{HROM}$) de computationele efficiëntie met ongeveer 15% vergeleken met ongegewogen partitionering, wat het nut van de gewogen graafbenadering aantoont.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat MBDD-G-ROM een algemeen framework biedt om geheugenbeperkingen in grootschalige DD-G-ROM analyses te verlichten. Door de POD-constructiesubdomeinen te ontkoppelen van de parallelle executiesubdomeinen, maakt de methode het mogelijk om HPC-bronnen flexibeler te gebruiken dan eerdere benaderingen. De auteurs stellen dat hun framework succesvol de bottleneck van dichte gereduceerde matrices in globale POD en de rigiditeit van gekoppelde decomposities in bestaande DD-G-ROM's aanpakt, waarbij een hoge parallelle efficiëntie wordt bereikt in zowel de offline (basisconstructie) als de online (simulatie) fase. De studie concludeert dat de methode de oplossing nauwkeurigheid behoudt terwijl het schaalbare parallelle analyse voor complexe, grootschalige problemen mogelijk maakt.