Starting inflation in asymptotically flat spacetimes

Sintesi Tecnica: Avvio dell'Inflazione in Spazi-Tempi Asintoticamente Piatti

Enunciato del Problema
Una questione centrale nella cosmologia dell'universo primordiale è se l'inflazione possa essere robustamente innescata da una generica fluttuazione localizzata nel campo dell'inflatone che sonda il plateau del suo potenziale. Precedenti studi di relatività numerica (NR) hanno principalmente utilizzato topologie di spazio-tempo periodiche (ad esempio, $T^3$ o $S^3$) per modellare le condizioni iniziali. Sebbene tali configurazioni permettano di studiare la dinamica non perturbativa, esse impongono condizioni di integrabilità restrittive sui dati iniziali. Nello specifico, i confini periodici spesso impongono una curvatura intrinseca mediata nel volume che sia nulla o spazialmente costante, e legano il tasso di espansione medio direttamente alla densità di energia media. Tali vincoli possono influenzare i risultati verso un'inflazione riuscita, sopprimendo artificialmente il collasso di piccole fluttuazioni ad alta energia. Gli autori mirano a rivisitare la robustezza dell'inflazione studiando fluttuazioni localizzate in spazi-tempi asintoticamente piatti, che consentono profili più generali di curvatura intrinseca ed estrinseca ed evitano l'omogeneità artificiale imposta dai confini periodici.

Metodologia
Gli autori impiegano simulazioni di relatività numerica all'interno del quadro della Relatività Generale, utilizzando la formulazione di Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN in simmetria sferica.

1. Costruzione dei Dati Iniziali:

   • I dati iniziali devono soddisfare i vincoli hamiltoniano e di momento. Gli autori adottano una decomposizione conforme trasversa-traccia-zero in cui la metrica conforme è piatta ($\bar{\gamma}_{ij} = \delta_{ij}$).
   • Il campo dell'inflatone $\phi$ è inizializzato con un profilo gaussiano $\phi = \phi_0 e^{-r^2/\sigma^2}$ e momento coniugato nullo ($\Pi=0$). L'ampiezza $\phi_0$ è fissata in modo che un universo FLRW omogeneo con questo valore subirebbe 60 e-fold di inflazione.
   • Viene introdotto un parametro chiave, $\epsilon$, per parametrizzare la ripartizione della densità di energia potenziale tra la sorgente per la curvatura intrinseca e la sorgente per la curvatura estrinseca. Il vincolo hamiltoniano viene risolto per determinare il fattore conforme $\psi$, e il vincolo di momento viene risolto iterativamente per determinare la traccia della curvatura estrinseca $K$.
   • Questo approccio rivela due rami distinti di soluzioni per una data larghezza della fluttuazione $\sigma$ e un parametro $\epsilon$: un ramo a campo debole (minore massa di Misner-Sharp) e un ramo a campo forte (maggiore massa di Misner-Sharp, potenzialmente contenente una geometria a "gola" o "bag of gold"). Le soluzioni esistono solo fino a un valore critico $\epsilon_{crit}$.

2. Evoluzione Numerica:

   • Il sistema viene evoluto utilizzando uno schema a differenze finite del quarto ordine con un integratore temporale Runge-Kutta del quarto ordine.
   • Le condizioni di gauge includono un slicing $1+log$ modificato per la funzione di lapse e uno shift nullo.
   • Gli autori monitorano la formazione di orizzonti cosmologici, l'accelerazione locale del fattore di scala e i contributi relativi di vari termini (potenziale, cinetico, gradiente e curvatura) al vincolo hamiltoniano.

3. Criteri per l'Inflazione:

   • Si considera che l'inflazione sia iniziata in una regione se il contributo dell'energia potenziale domina il vincolo hamiltoniano (almeno il 90% della norma $L_1$ di tutti i contributi) e l'equivalente locale di $\ddot{a}$ è positivo.
   • Il numero di e-fold viene estrapolato sulla base dei valori centrali del campo e del momento al momento in cui questi criteri sono soddisfatti.

Risultati Chiave
Lo studio mappa lo spazio dei parametri definito dalla larghezza della fluttuazione $\sigma$ e dalla ripartizione della curvatura $\epsilon$:

• Esistenza di Rami di Soluzione: Per una fissata larghezza della fluttuazione, le soluzioni alle equazioni di vincolo esistono solo fino a un $\epsilon_{crit}$ massimo. Al di sotto di questo limite, esistono due rami di soluzione. Il ramo a campo forte supporta volumi spaziali più grandi ed è più robusto contro il collasso.
• Dimensione Minima della Fluttuazione:
  • Sul ramo a campo debole (specificamente il limite $\epsilon=0$), l'inflazione fallisce se la dimensione propria della fluttuazione è troppo piccola. Gli autori trovano un raggio proprio minimo di circa $\sigma_{prop} \approx 2 L_{infl}$ (dove $L_{infl}$ è la scala di lunghezza inflazionaria). Al di sotto di questa dimensione, la regione collassa per formare un buco nero.
  • Sul ramo a campo forte, la dimensione minima richiesta per l'inflazione è leggermente più piccola in termini di coordinate, ma il requisito fisico rimane coerente quando misurato in volume proprio.
• Universalità del Volume Proprio: Quando i risultati sono riportati contro il raggio proprio (o il volume proprio) della fluttuazione iniziale anziché il raggio di coordinata, i dati provenienti da diversi valori di $\epsilon$ e rami di soluzione si sovrappongono su un'unica curva. Ciò indica che il driver principale per un'inflazione riuscita è il volume fisico della fluttuazione, non la specifica ripartizione tra curvatura intrinseca ed estrinseca.
• Confronto con il Lavoro Precedente: I risultati confermano e generalizzano le conclusioni di Goldwirth e Piran (GP), i quali avevano stabilito che è richiesto un patch di dimensioni "Hubble" per l'inflazione. Tuttavia, questo lavoro dimostra che tale soglia è robusta in una classe molto più ampia di dati iniziali, inclusi quelli con curvature intrinseca ed estrinseca non uniformi in spazi-tempi asintoticamente piatti.
• Fallimento nelle Piccole Fluttuazioni: A differenza di alcune simulazioni periodiche dove l'inflazione veniva trovata avvenire in qualche parte del dominio anche se si formavano buchi neri, questo studio mostra che per fluttuazioni sufficientemente piccole in spazi-tempi asintoticamente piatti, l'intera regione centrale collassa in un buco nero e l'inflazione non riesce a partire.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo sostiene di fornire un test più rigoroso della robustezza dell'inflazione rimuovendo i vincoli artificiali imposti dalle condizioni al contorno periodiche. Gli autori argomentano che:

1. Generalizzazione di GP: Il requisito di una dimensione della fluttuazione di diverse volte la scala inflazionaria ($1/\sqrt{G\rho_{infl}}$) è confermato come una caratteristica generica, valida anche quando i dati iniziali consentono distribuzioni arbitrarie (entro i vincoli) di curvatura intrinseca ed estrinseca.
2. Bias nelle Simulazioni Periodiche: Gli autori suggeriscono che le simulazioni periodiche con scale vicine alla scala inflazionaria possano influenzare i risultati verso il ritrovamento di un'inflazione riuscita. In tali configurazioni, la "regolarità" imposta dalla periodicità e il requisito di soddisfare i vincoli globali (come la curvatura media nulla) possono stabilizzare artificialmente piccole fluttuazioni che altrimenti collasserebbero in un contesto asintoticamente piatto.
3. Il Volume Proprio come Metrica Chiave: Lo studio stabilisce che il volume proprio della fluttuazione iniziale è il fattore decisivo per l'inizio dell'inflazione, superando la specifica scelta di gauge o la ripartizione tra termini di curvatura.
4. Restrizioni Intrinseche: Il lavoro evidenzia che l'equilibrio tra curvatura intrinseca ed estrinseca non è una scelta libera; i vincoli geometrici limitano la massima curvatura intrinseca che può bilanciare una data densità di energia, rendendo spesso necessaria una curvatura estrinseca (espansione) affinché esistano soluzioni.

Gli autori concludono che, sebbene il loro studio sia limitato alla simmetria sferica e a un potenziale quadratico, esso fornisce una comprensione fondamentale del fatto che l'inflazione di successo richiede una regione localizzata fisicamente grande, e che le fluttuazioni più piccole in generici spazi-tempi asintoticamente piatti sono soggette al collasso gravitazionale piuttosto che all'inflazione.