Starting inflation in asymptotically flat spacetimes

Resumo Técnico: O Início da Inflação em Espaços-Tempos Assintoticamente Planos

Enunciado do Problema
Uma questão central na cosmologia do universo primitivo é se a inflação pode ser robustamente semeada por uma flutuação localizada genérica no campo do inflatão que probe o platô inflacionário de seu potencial. Estudos anteriores de relatividade numérica (RN) utilizaram primordialmente topologias de espaço-tempo periódicas (ex: $T^3$ ou $S^3$) para modelar condições iniciais. Embora essas configurações permitam o estudo de dinâmicas não perturbativas, elas impõem condições de integrabilidade restritivas sobre os dados iniciais. Especificamente, fronteiras periódicas frequentemente forçam uma curvatura intrínseca média que se anula ou é espacialmente constante, e vinculam a taxa de expansão média diretamente à densidade de energia média. Essas restrições podem enviesar os resultados para o sucesso da inflação ao suprimir artificialmente o colapso de pequenas flutuações de alta energia. Os autores visam revisitar a robustez da inflação estudando flutuações localizadas em espaços-tempos assintoticamente planos, que permitem perfis mais gerais de curvatura intrínseca e extrínseca e evitam a homogeneidade artificial imposta pelas fronteiras periódicas.

Metodologia
Os autores empregam simulações de relatividade numérica dentro do arcabouço da Relatividade Geral, utilizando a formulação de Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura (BSSN) em simetria esférica.

1. Construção dos Dados Iniciais:

   • Os dados iniciais devem satisfazer as restrições de Hamiltonianas e de momento. Os autores adotam uma decomposição conforme transverso-traceless onde a métrica conforme é plana ($\bar{\gamma}_{ij} = \delta_{ij}$).
   • O campo do inflatão $\phi$ é inicializado com um perfil Gaussiano $\phi = \phi_0 e^{-r^2/\sigma^2}$ e momento conjugado nulo ($\Pi=0$). A amplitude $\phi_0$ é fixada de modo que um universo FLRW homogêneo com este valor passaria por 60 e-folds de inflação.
   • Um parâmetro chave, $\epsilon$, é introduzido para parametrizar a divisão da densidade de energia potencial entre a fonte para a curvatura intrínseca e a fonte para a curvatura extrínseca. A restrição de Hamiltonian é resolvida para determinar o fator conforme $\psi$, e a restrição de momento é resolvida iterativamente para determinar o traço da curvatura extrínseca $K$.
   • Esta abordagem revela dois ramos distintos de soluções para uma dada largura de flutuação $\sigma$ e parâmetro $\epsilon$: um ramo de campo fraco (menor massa de Misner-Sharp) e um ramo de campo forte (maior massa de Misner-Sharp, potencialmente contendo uma geometria de "gargalo" ou "bolsa de ouro" [bag of gold]). Soluções só existem até um valor crítico $\epsilon_{crit}$.

2. Evolução Numérica:

   • O sistema é evoluído usando um esquema de diferenças finitas de quarta ordem com um integrador de tempo Runge-Kutta de quarta ordem.
   • As condições de gauge incluem um slicing $1+\log$ modificado para a função de lapso (lapse) e deslocamento (shift) zero.
   • Os autores monitoram a formação de horizontes cosmológicos, a aceleração local do fator de escala e as contribuições relativas de vários termos (potencial, cinético, gradiente e curvatura) para a restrição de Hamiltonian.

3. Critérios para Inflação:

   • A inflação é considerada iniciada em uma região se a contribuição da energia potencial dominar a restrição de Hamiltonian (pelo menos 90% da norma $L_1$ de todas as contribuições) e o equivalente local de $\ddot{a}$ for positivo.
   • O número de e-folds é extrapolado com base nos valores centrais do campo e do momento no momento em que estes critérios são atendidos.

Principais Resultados
O estudo mapeia o espaço de parâmetros definido pela largura da flutuação $\sigma$ e pela divisão de curvatura $\epsilon$:

• Existência de Ramos de Solução: Para uma largura de flutuação fixa, soluções para as equações de restrição existem apenas até um $\epsilon_{crit}$ máximo. Abaixo deste limite, dois ramos de solução existem. O ramo de campo forte suporta volumes espaciais maiores e é mais robusto contra o colapso.
• Tamanho Mínimo da Flutuação:
  • No ramo de campo fraco (especificamente o limite $\epsilon=0$), a inflação falha se o tamanho próprio da flutuação for muito pequeno. Os autores encontram um raio próprio mínimo de aproximadamente $\sigma_{prop} \approx 2 L_{infl}$ (onde $L_{infl}$ é a escala de comprimento inflacionária). Abaixo deste tamanho, a região colapsa para formar um buraco negro.
  • No ramo de campo forte, o tamanho mínimo requerido para a inflação é ligeiramente menor em termos de coordenadas, mas o requisito físico permanece consistente quando medido em volume próprio.
• Universalidade do Volume Próprio: Quando os resultados são plotados contra o raio próprio (ou volume próprio) da flutuação inicial em vez do raio de coordenada, os dados de diferentes valores de $\epsilon$ e ramos de solução colapsam em uma única curva. Isso indica que o principal motor para o sucesso da inflação é o volume físico da flutuação, não a escolha específica da divisão entre curvaturas intrínseca e extrínseca.
• Comparação com Trabalhos Anteriores: Os resultados confirmam e generalizam as descobertas de Goldwirth e Piran (GP), que estabeleceram que um patch de tamanho de Hubble é necessário para a inflação. No entanto, este trabalho demonstra que este limiar é robusto através de uma classe muito mais ampla de dados iniciais, incluindo aqueles com curvaturas intrínseca e extrínseca não uniformes em espaços-tempos assintoticamente planos.
• Falha em Pequenas Flutuações: Ao contrário de algumas simulações periódicas onde a inflação foi encontrada como ocorrendo em algum lugar do domínio mesmo que buracos negros se formassem, este estudo mostra que, para flutuações suficientemente pequenas em espaços-tempos assintoticamente planos, toda a região central colapsa em um buraco negro, e a inflação falha em começar.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer um teste mais rigoroso da robustez da inflação ao remover as restrições artificiais das condições de contorno periódicas. Os autores argumentam que:

1. Generalização de GP: O requisito de um tamanho de flutuação de várias vezes a escala inflacionária ($1/\sqrt{G\rho_{infl}}$) é confirmado como um traço genérico, válido mesmo quando os dados iniciais permitem distribuições arbitrárias (dentro das restrições) de curvatura intrínseca e extrínseca.
2. Viés em Simulações Periódicas: Os autores sugerem que simulações periódicas com escalas próximas à escala inflacionária podem enviesar os resultados para encontrar o sucesso da inflação. Nesses setups, a "regularidade" imposta pela periodicidade e o requisito de satisfazer restrições globais (como a curvatura média que se anula) podem estabilizar artificialmente pequenas flutuações que, de outra forma, colapsariam em um cenário assintoticamente plano.
3. Volume Físico como a Métrica Chave: O estudo estabelece que o volume próprio da flutuação inicial é o fator decisivo para o início da inflação, sobrepondo-se à escolha específica de gauge ou à divisão entre termos de curvatura.
4. Restrições Inerentes: O trabalho destaca que o equilíbrio entre a curvatura intrínseca e extrínseca não é uma escolha livre; restrições geométricas limitam a curvatura intrínseca máxima que pode equilibrar uma dada densidade de energia, frequentemente necessitando de curvatura extrínseca não nula (expansão) para que as soluções existam.

Os autores concluem que, embora seu estudo seja limitado à simetria esférica e a um potencial quadrático, ele fornece uma compreensão fundamental de que a inflação bem-sucedida requer uma região localizada fisicamente grande, e que flutuações menores em espaços-tempos assintoticamente planos genéricos são propensas ao colapso gravitacional em vez da inflação.