Incidence equivalence, a survey

Sintesi Tecnica: Equivalenza di Incidenza, Un'Indagine

Enunciato del Problema
Questa indagine affronta una questione fondamentale nella teoria dei cicli algebrici su varietà proiettive complesse lisce, posta originariamente da P. Griffiths nei primi anni '70. Il problema centrale riguarda la relazione tra due relazioni di equivalenza definite sui cicli di codimensione $i$ che sono algebricamente equivalenti a zero:

1. Equivalenza di Incidenza ($\sim_{inc}$): Una relazione puramente geometrica definita tramite corrispondenze. Un ciclo $\alpha$ è equivalente per incidenza a zero se i suoi "divisori di incidenza" su qualsiasi varietà proiettiva liscia $Y$ (indotti da corrispondenze integrali di grado $1-i$) sono razionalmente equivalenti a zero.
2. Equivalenza di Abel-Jacobi ($\sim_{AJ}$): Una relazione trascendentale definita tramite il nucleo della mappa di Abel-Jacobi $\psi^i_{AJ}$, che mappa i cicli omologicamente triviali nei Jacobiani intermedi di Griffiths $J^i(X)$.

La questione centrale, indicata con $GC(X, i)$, chiede se queste due relazioni coincidano per i cicli algebricamente equivalenti a zero, almeno dopo il tensore con $\mathbb{Q}$. Una risposta positiva estenderebbe il teorema di Abel per i divisori a codimensioni superiori.

Metodologia e Framework
Il saggio sintetizza i risultati classici degli anni '70 con sviluppi più recenti della teoria di Hodge e della teoria dei biextensioni. La metodologia si basa sui seguenti componenti strutturali:

• Corrispondenze: Il saggio utilizza l'azione delle corrispondenze integrali sui gruppi di Chow e sulla coomologia per definire l'equivalenza di incidenza e per studiare la funtorialità delle varietà associate.
• Jacobiani Intermedi e Varietà di Picard: L'autore distingue tra i Jacobiani intermedi di Griffiths $J^i(X)$ (che sono generalmente tori complessi, non necessariamente varietà abeliane) e le "varietà di Picard generalizzate" $Pic^i(X)$, definite come il quoziente dei cicli algebricamente triviali per equivalenza di incidenza. Il problema $GC(X, i)$ viene riformulato come la domanda se l'immagine della mappa di Abel-Jacobi, $J^i_{alg}(X)$, sia isogena alla varietà di Picard generalizzata $Pic^i(X)$.
• Congetture Standard: L'analisi è profondamente intrecciata con le congetture standard di Grothendieck, specificamente:
  • Congettura $B(X)$: L'operatore di Lefschetz $\Lambda$ è indotto da una corrispondenza algebrica.
  • Congettura $D(X)$: L'equivalenza omologica coincide con l'equivalenza numerica.
  • La Congettura di Hodge Generalizzata ($GHC$): Relazione tra la filtrazione di coniveau nella coomologia e le sottostrutture di Hodge.
• Biextensioni: Il saggio incorpora il lavoro di S. Müller-Stach che utilizza le biextensioni di Bloch. Questo approccio connette la scissione di determinati $\mathbb{C}^\times$-torsori (biextensioni di Bloch) all'equivalenza di incidenza, fornendo un ponte tra proprietà geometriche e trascendentali.
• Decomposizione di Lefschetz: Una parte significativa dell'argomento tecnico riguarda l'analisi delle componenti primitive della decomposizione di Lefschetz delle classi coomologiche all'interno della filtrazione di coniveau.

Contributi Chiave e Risultati
Il saggio fornisce una panoramica completa dei risultati noti ed stabilisce diverse implicazioni riguardanti $GC(X, i)$:

1. Riformulazione dell'Equivalenza: Stabilisce che $GC(X, i)$ è vero se e solo se $J^i_{alg}(X)$ è isogena alla varietà di Picard generalizzata $Pic^i(X)$.
2. Implicazioni delle Congetture Standard:
   • Se la Congettura di Hodge Generalizzata $GHC(X, 2i-1, i)$ è vera, allora $GC(X, i)$ è vera.
   • Se la Congettura $B(X)$ è vera, allora tutte le componenti primitive della decomposizione di Lefschetz delle classi algebriche sono esse stesse algebriche. Questa condizione, denotata $(\Lambda, X, i)$, implica $GC(X, i)$.
   • Di conseguenza, $GC(X, i)$ è nota essere vera per le varietà abeliane, poiché $B(X)$ è nota essere vera per esse.
3. Casi Specifici:
   • Codimensione 1 e $d$: $GC(X, 1)$e$GC(X, d)$ sono vere (recuperando i risultati classici per i divisori e per gli 0-cicli tramite le varietà di Picard e di Albanese).
   • Codimensione 2: Il saggio recensisce la prova di J. Murre per $i=2$. Nota che l'argomento geometrico originale di Murre riguardante la non-degenerazione della pairing del prodotto di coomoleghe su $H^3_{alg}(X)$ appariva incompleto. L'autore fornisce una prova corretta e più generale utilizzando l'operatore $*$-di Hodge e i risultati di Weil sulla decomposizione di Lefschetz, confermando $GC(X, 2)$.
   • Dimensioni Dispari e Intersezioni Complete: Per una varietà $X$ di dimensione $d=2m+1$ dove i numeri di Betti dispari $b_{2k+1}(X)$ sono nulli per $k \neq m$ (ad esempio, intersezioni complete lisce in spazio proiettivo), $GC(X, m)$ è vera.
4. Dualità: Il saggio chiarisce la dualità tra $J^i_{alg}(X)$ e $J^j_{alg}(X)$ (dove $i+j=d+1$) e mostra che se $GC(X, i)$ è vera, allora $GC(X, j)$ è vera sotto specifiche condizioni di dualità.

Significato e Motivazione
L'autore afferma che la motivazione di questa indagine deriva da una recente osservazione di Z. Chen che collega la domanda di Griffiths al comportamento asintotico della pairing di altezza archimedica in un contesto geometrico. Nello specifico, il recente lavoro di Hain e Brosnan–Pearlstein sul comportamento asintotico delle pairing di altezza per variazioni ammissibili di strutture di Hodge miste suggerisce che, se $GC(X, i)$ ha una risposta positiva, un coefficiente specifico nell'espansione asintotica corrisponde a una pairing di altezza geometrica locale.

Il saggio mira a consolidare la letteratura antica che è diventata difficile da reperire e a chiarire argomenti che si basano su conoscenze comuni negli anni '70 ma potenzialmente dimenticate dalle nuove generazioni. Esso serve come riferimento che connette la teoria classica dell'equivalenza di incidenza agli sviluppi moderni della teoria di Hodge, in particolare riguardo al comportamento delle classi di livello di Hodge $\leq 1$ in coomologia di rango dispari. L'indagine non pretende di risolvere il caso generale di $GC(X, i)$ per varietà arbitrarie, ma piuttosto delinea le precise condizioni (come $B(X)$ o $GHC$) sotto le quali l'equivalenza è nota per essere valida.