Incidence equivalence, a survey

Resumen Técnico: Equivalencia de Incidencia, Una Encuesta

Planteamiento del Problema
Esta encuesta aborda una pregunta fundamental en la teoría de ciclos algebraicos sobre variedades proyectivas complejas suaves, planteada originalmente por P. Griffiths a principios de la década de 1970. El problema central concierne a la relación entre dos relaciones de equivalencia definidas sobre ciclos de codimensión $i$ que son algebraicamente equivalentes a cero:

1. Equivalencia de Incidencia ($\sim_{inc}$): Una relación puramente geométrica definida vía correspondencias. Un ciclo $\alpha$ es incidencia equivalente a cero si sus "divisores de incidencia" en cualquier variedad proyectiva suave $Y$ (inducidos por correspondencias integrales de grado $1-i$) son racionalmente equivalentes a cero.
2. Equivalencia de Abel-Jacobi ($\sim_{AJ}$): Una relación trascendental definida mediante el núcleo del mapa de Abel-Jacobi $\psi^i_{AJ}$, que mapea los ciclos triviales homológicamente hacia los jacobianos intermedios de Griffiths $J^i(X)$.

La cuestión central, denominada $GC(X, i)$, pregunta si estas dos relaciones coinciden para ciclos algebraicamente equivalentes a cero, al menos tras aplicar un producto tensorial con $\mathbb{Q}$. Una respuesta positiva extendería el teorema de Abel para divisores a codimensiones superiores.

Metodología y Marco Teórico
El artículo sintetiza resultados clásicos de la década de 1970 con desarrollos más recientes en la teoría de Hodge y la teoría de biextensiones. La metodología se apoya en los siguientes componentes estructurales:

• Correspondencias: La encuesta utiliza la acción de las correspondencias integrales sobre los grupos de Chow y la cohomología para definir la equivalencia de incidencia y estudiar la functoridad de las variedades asociadas.
• Jacobianos Intermedios y Variedades de Picard: El autor distingue entre los jacobianos intermedios de Griffiths $J^i(X)$ (que son generalmente toros complejos, no necesariamente variedades abelianas) y las "variedades de Picard generalizadas" $Pic^i(X)$, definidas como el cociente de los ciclos algebraicamente triviales por la equivalencia de incidencia. El problema $GC(X, i)$ se reformula como la pregunta de si la imagen del mapa de Abel-Jacobi, $J^i_{alg}(X)$, es isógena a $Pic^i(X)$.
• Conjeturas Estándar: El análisis está profundamente entrelazado con las conjeturas estándar de Grothendieck, específicamente:
  • Conjetura $B(X)$: El operador de Lefschetz $\Lambda$ es inducido por una correspondencia algebraica.
  • Conjetura $D(X)$: La equivalencia homológica coincide con la equivalencia numérica.
  • La Conjetura de Hodge Generalizada ($GHC$): Relaciona la filtración de conivencia en la cohomología con las subestructuras de Hodge.
• Biextensiones: La encuesta incorpora el trabajo de S. Müller-Stach utilizando las biextensiones de Bloch. Este enfoque conecta la división de ciertos torsores de $\mathbb{C}^\times$ (biextensiones de Bloch) con la equivalencia de incidencia, proporcionando un puente entre propiedades geométricas y trascendentales.
• Descomposición de Lefschetz: Una parte significativa del argumento técnico implica analizar los componentes primitivos de la descomposición de Lefschetz de las clases de cohomología dentro de la filtración de conivencia.

Contribuciones Clave y Resultados
El documento proporciona una visión exhaustiva de los resultados conocidos y establece varias implicaciones respecto a $GC(X, i)$:

1. Reformulación de la Equivalencia: Establece que $GC(X, i)$ se cumple si y solo si $J^i_{alg}(X)$ es isógena a la variedad de Picard generalizada $Pic^i(X)$.
2. Implicaciones de las Conjeturas Estándar:
   • Si la Conjetura de Hodge Generalizada $GHC(X, 2i-1, i)$ se cumple, entonces $GC(X, i)$ es verdadera.
   • Si la Conjetura $B(X)$ se cumple, entonces todos los componentes primitivos de la descomposición de Lefschetz de las clases algebraicas son ellos mismos algebraicos. Esta condición, denotada como $(\Lambda, X, i)$, implica $GC(X, i)$.
   • En consecuencia, $GC(X, i)$ es conocido por cumplirse para variedades abelianas, ya que $B(X)$ es conocida por cumplirse para ellas.
3. Casos Específicos:
   • Codimensión 1 y $d$: $GC(X, 1)$y$GC(X, d)$ se cumplen (recuperando los resultados clásicos para divisores y 0-ciclos vía las variedades de Picard y albances).
   • Codimensión 2: El papel revisa la prueba de J. Murre para $i=2$. Observa que el argumento geomético original de Murre respecto a la no degeneración del emparejamiento del producto de copa en $H^3_{alg}(X)$ parecía incompleto. El autor proporciona una prueba corregida y más general usando el operador $*$-de Hodge y los resultados de Weil sobre la descomposición de Lefschetz, confirmando $GC(X, 2)$.
   • Dimensiones Impares e Intersecciones Completas: Para una variedad $X$ de dimensión $d=2m+1$ donde los números de Betti impares $b_{2k+1}(X)$ se anulan para $k \neq m$ (por ejemplo, intersecciones completas suaves en el espacio proyectivo), $GC(X, m)$ se cumple.
4. Dualidad: La encuesta aclara la dualidad entre $J^i_{alg}(X)$ y $J^j_{alg}(X)$ (donde $i+j=d+1$) y muestra que si $GC(X, i)$ se cumple, entonces $GC(X, j)$ también lo hace bajo condiciones de dualidad específicas.

Significación y Motivación
El autor afirma que la motivación para esta encuesta surge de una observación reciente de Z. Chen que vincula la pregunta de Griffiths con el comportamiento asintótico del emparejamiento de altura arquimediano en un entorno geométrico. Específicamente, trabajos recientes de Hain y Brosnan–Pearlstein sobre el comportamiento asintótico de los emparejamientos de altura para variaciones de estructuras de Hodge mixtas admisibles sugieren que, si $GC(X, i)$ tiene una respuesta positiva, un coeficiente específico en la expansión asintótica corresponde a un emparejamiento de altura geométrico local.

Este artículo pretende consolidar la literatura antigua que se ha vuelto difícil de localizar y aclarar argumentos que dependen de conocimientos comunes en la década de 1970 pero que podrían haber sido olvidados por generaciones más nuevas. Sirve como referencia conectando la teoría clásica de la equivalencia de incidencia con los desarrollos modernos de la teoría de Hodge, particularmente respecto al comportamiento de las clases de nivel de Hodge $\leq 1$ en la cohomología de rango impar. La encuesta no pretende resolver el caso general de $GC(X, i)$ para variedades arbitrarias, sino delimitar las condiciones precisas (tales como $B(X)$ o $GHC$) bajo las cuales se sabe que la equivalencia se cumple.