More global randomness from less random local gates

タイトル：より少ないランダムな局所ゲートから、よりグローバルなランダム性を

問題提起
ランダム・ユニタリ・アンサンブルは、ランダム化ベンチマーキングによるエラー推定、量子計算優位性の実証、およびトモグラフィーによる量子状態の検証において、量子情報科学の基礎となるツールである。理論的な標準はグローバルなHaarランダム・ユニタリ・アンサンブルであるが、中規模なシステムに対してそれを生成することは実用的に不可能である。その結果、研究者はグローバルなランダム性を近似するために、局所的なランダム回路のシーケンスに依存している。

中心的な問いは、局所的なHaarランダム・ゲートがグローバルなランダム性を達成するための最適なメカニズムであるのかという点である。既存の文献は主に、局所的なランダム化装置は局所的なHaarランダム・アンサンブルまたはユニタリ部分群で構成される必要があると仮定している。しかし、特定の構造を維持したまま、特定のゲートを非Haar（non-Haar）に固定することが、より優れたグローバルなランダム性を生み出す可能性があるかどうかは不明である。本研究は、非Haar局所ゲートを用いた構造化されたランダム回路が、標準的なHaarランダム回路よりも優れたグローバルなランダム性を生成できるかどうかを扱う。

手法
著者らは、局所ゲートがHaar測度からではなく「u-structured」から抽出される、一次元の構造化されたランダム回路を調査している。u-structuredゲートは、入力と出力に作用する単一quditのHaarランダム・ゲートの間に、固定された二quditゲート $u$ が挟み込まれたものとして定義される。2つの回路アーキテクチャを分析する：

1. 局所ランダム回路 (LRC): 隣接するquditのペアが一様にランダムに選択され、u-structuredゲートが適用される。
2. ブリックウォール回路 (BWC): 交互に配置されたスタッガード層のu-structured二quditゲートが、最近接の隣接間に適用される。

ランダム性を定量化するために、著者らは、回路の確率分布 $\nu$ に関する $U^{\otimes 2} \otimes \bar{U}^{\otimes 2}$ の積分として定義される二次のモーメント演算子 $M_\nu$ を利用する。ユニタリ2-デザインへの収束率は、この演算子のスペクトルギャップ ($\Delta_\nu = 1 - |\lambda_3|$) によって決定される。著者らは「より多くのランダム性」を以下の2つの方法で定義する：

• スペクトルギャップ: $\nu$ が $\mu$ よりもランダムであるとは、$\Delta_\nu > \Delta_\mu$ であることである。
• 正定値性: $\nu$ が $\mu$ よりもランダムであるとは、$M_\mu|_{V_1^\perp} - M_\nu|_{V_1^\perp}$ が正であることである（ここで $V_1$ は、恒等写像とSWAPゲートによって張られる最大の固有値に対応する固有空間である）。

この分析は、もつれ生成力 ($e_u$) とゲート典型性 ($g_u$) という2つのパラメータを用いて、二次のモーメント演算子を特徴付けることに依拠している。著者らは、モーメント演算子を正確に対角化できる可解な条件を特定している：
$$\frac{e_u}{g_u} = \frac{e_H}{g_H}$$
ここで、$e_H$ および $g_H$ はHaarランダム・ゲートの平均化されたもつれ生成力とゲート典型性である。この条件の下では、モーメント演算子は自由フェルミオン鎖（局所回路の場合はKitaev鎖）へと写像され、これにより全ての固有値と固有ベクトルを厳密に計算することが可能となる。

主要な貢献と結果

1. 厳密な対角化: 著者らは、可解な条件の下で、局所およびブリックウォール構造のランダム回路の二次のモーメント演算子のすべての厳密な固有値と固有値を導出した。これは、ジョルダン・ウィグナー変換を介して演算子を自由フェルミオン・モデルへ写像することによって達成される。

   • 局所ランダム回路の場合、固有値は $\lambda_{p, i_p} = 1 - \frac{1}{n} \sum_{k \in K_p} \epsilon_k i_{p,k}$ で与えられる（ここで $\epsilon_k$ は正規化されたもつれ生成力に依存する）。
   • ブリックウォール回路の場合、固有値は項 $\lambda_k$ の積となり、$e_u > e_H$ の場合には複素数になり得る。

2. 非Haarゲートの直感に反する優位性: 本論文は、構造化されたランダム回路が、同じアーキテクチャを持つHaarランダム回路よりも大幅に、よりランダムであることを示している。

   • 局所回路: もし $e_u > e_H$ かつ $g_u > g_H$ であれば、構造化された回路はスペクトルギャップと正定値性の両方に関して、よりランダムである。スペクトルギャップは $e_u$ および $g_u$ に対して単調に増加する。
   • ブリックウォール回路: 可解な条件の下では、構造化された回路がHaar回路よりもランダムであるための必要十分条件は $e_u > e_H$ である。注目すべきは、ブリックウォール回路においては、スペクトルギャップが必ずしも $e_u$ に対して単調に増加するわけではないことである（例：qutrit系では、特定の $e_u$ の値に対してギャップが減少する場合がある）。これは、アーキテクチャへの複雑な依存性を浮き彫りにしている。

3. スペクトルギャップの分析: 著者らは、Haarランダム・ゲートのもつれ生成力が最大ではないことを示している。qubit ($d=2$) の場合、$e_H = 3/5$ であるが、構造化されたゲートは最大で $e_u = 2/3$ まで達成できる。この領域（$e_u > e_H$）で動作することにより、構造化された回路はより大きなスペクトルギャップを実現し、ユニタリ2-デザインへの収束を加速させる。

4. 数値的検証: Qubit ($d=2$) および Qutrit ($d=3$) システムにおける $|\lambda_3|$ の数値計算は、解析結果を裏付けており、$e_u > e_H$ のときにスペクトルギャップがHaar点を超えることを示している。

意義と応用
本論文は、これらの知見が量子情報プロトコルの効率向上に直接的な応用を持つと主張している：

• ランダム化ベンチマーキング (RB): RBに必要な回路の深さはスペクトルギャップの逆数によって上限が抑えられるため、構造化された回路による強化されたギャップは、理論的に保証されたRBのために必要な回路の深さを削減できる可能性を示唆している。
• 近似ユニタリ2-デザイン: これらの結果は、浅い回路において近似ユニタリ2-デザインを生成するために必要な深さの改善された境界を提供している。小さなランダム回路を結合する手法と、強化されたランダム性を持つ構造化ゲートを組み合わせることで、2-デザインへの収束時間を改善できる。
• 量子カオス力学: 二次のモーメント演算子の厳密な対角化により、可解な条件を満たす構造化されたランダム回路内での、アウト・オブ・タイム・オーダー相関関数 (OTOC) やレニー2次演算子エントロピー・エントロピーといった、量子カオスの指標の閉じた形式の表現を導出することが可能になる。

著者らは、本研究が、非Haar局所ゲートがHaarゲートよりも多くのグローバルなランダム性を生成できるかという問いに対し、肯定的な回答を与えるものであると結論づけている。これは、追加の構造がユニタリ2-デザインへの収束率を向上させ得ることを示唆しており、大規模な量子コンピューティングにとって極めて重要な要素である。なお、本研究では二次のモーメント演算子に焦点を当てたが、正定値性に関する結果は、局所回路における任意の空間次元においても保持される。