Gapless Phases in (2+1)d with Non-Invertible Symmetries

タイトル：非可逆対称性を持つ(2+1)次元におけるギャップレス相
著者：Lakshya Bhardwaj, Yuhan Gai, Sheng-Jie Huang, Kansei Inamura, Sakura Schäfer-Nameki, Apoorv Tiwari, Alison Warman

問題提起

量子相の分類は、伝統的に群対称性による対称性の破れというランダウのパラダイムに依拠してきました。近年の発展により、この概念はカテゴリカル（非可逆）対称性を伴う相、特にギャップのある系へと拡張されてきました。しかし、非可逆対称性を伴うギャップレス相および二次相転移の研究は、特に(1+1)次元より高次元の場合、依然として困難な課題です。(1+1)次元における非可逆対称性を伴うギャップレス相については特定のモデルを用いて探索されていますが、融合2カテゴリ対称性を有する(2+1)次元のギャップレス相に対する体系的な枠組みは欠如していました。中心となる課題は、関与する対称性が非可逆である場合に、ギャップのある相間の転移として生じる臨界モデルをどのように構成し、分類するかという点にあります。

手法

本論文は、中心的なツールとして**対称性トポロジカル場理論（SymTFT）**の枠組みを採用しています。(2+1)次元における与えられた対称性カテゴリ $S$ に対するSymTFTは、有限群 $G$（ねじれ $\varpi$ を伴う可能性がある）に関する(3+1)次元のトポロジカル場理論、具体的にはディジグラフ・ウィッテン（Dijkgraaf-Witten; DW）理論 $Z(2\text{Vec}^\varpi_G)$ であり、対称性の欠陥はその境界に存在します。

核となる手法は、2つの補完的な視点に基づいています：

1. 「クラブサンドイッチ（Club Sandwich）」構成： これはケネディ・タサキ（KT）変換を一般化したものです。著者らは、より小さな対称性 $S_0$ の既知の相転移（例：$\mathbb{Z}_2$ に対する3d Ising CFT）を「入力」として出発します。彼らは、大きな対称性 $S$ のSymTFTと、より小さな対称性 $S_0$ のSymTFTの間にトポロジカル界面 $I$ を挿入することで、「クラブサンドイッチ」を構築します。$S$ のSymTFTが占める区間をコンパクト化することにより、入力された転移は、$S$ の新しい転移へと写像されます。
2. モジュール2-カテゴリ記述： トポロジカル秩序間の界面は、(双)モジュール2-カテゴリを用いて数学的に特徴付けられます。このアプローチは、モジュールカテゴリによるギャップのある境界の記述を、界面の研究へと一般化するものであり、トポロジカル欠陥および結果として得られる縮退したトポロジカル秩序の厳密な代数的分類を提供します。

著者らは、「オール・ボソニック（all-bosonic）」な融合2-カテゴリ対称性に焦点を当てており、そこではSymTFTはDW理論となります。彼らは、(3+1)d DW理論 $Z(2\text{Vec}^\varpi_G)$ を縮退したトポロジカル秩序 $Z(2\text{Vec}^\pi_{H/N})$ へと写す界面（凝縮可能な代数）を体系的に分類しています。

主要な貢献

1. 界面の体系的分類：
本論文は、有限群に対するDW理論間の界面の完全な分類を提供します。界面は以下のデータ $(H, N, \pi, \mathcal{A})$ によって特徴付けられます：

• $H < G$ は部分群。
• $N \triangleleft H$ は正規部分群。
• $\pi \in H^4(H/N, U(1))$ は縮退したトポロジカル秩序におけるねじれ。
• $\mathcal{A}$ は $p^*\pi$-ねじれた $H$-次数付き融合カテゴリ（非最小界面の場合。最小界面の場合は $\mathcal{A} = \text{Vec}^\omega_H$）。
  この分類は、最小界面（すべての境界線がバルク線からの射影であるもの）と非最小界面（固有のトポロジカル線を持つもの）を区別します。

2. KT変換によるギャップレス相の構築：
分類された界面を用いることで、より小さな対称性を持つ既知の転移から、大きなカテゴリカル対称性を持つギャップレス相を生成する体系的な手順を構築します。$\mathbb{Z}_2$ に対する転移（例：3d Ising CFTまたはそのゲージ化されたもの）を入力として用いることで、$Z_4, S_3, D_8$ のDW理論から導かれる多様な新しい二次相転移を導出します。

3. 本質的にギャップレスな相の特定：
著者らは、**本質的にギャップレスな対称性保護トポロジカル（igSPT）および本質的にギャップレスな自発的対称性の破れ（igSSB）**相の基準を確立しました。

• igSPT: 全ての対称性を保持するが、その対称性を破ることなしにはギャップを持たせることができないギャップレス相。
• igSSB: 対称性を自発的に破るが、さらなる破れなしにはギャップを持たせることができないギャップレス相。
  これらの相は、縮退したトポロジカル秩序が、元の対称性群のいかなる部分群によっても解消（trivialization）できない非自明なねじれ $\pi$ を持つ場合に生じると、著者らは示しています。具体的には、界面が $H' < H$ の任意の真の部分群上でゼロに引き戻されない非自明な $\pi \in H^4(H/N, U(1))$ を含む場合、結果として得られる相は本質的にギャップレスとなります。

4. 具体的な例と表：
この枠組みは以下の特定の群に適用されています：

• アーベル群 ($Z_4$): $Z_4$ および混合 $Z_2 \times Z_2$ 対称性を伴う転移を伴う、最小および非最小界面の詳細な分析。
• 非アーベル群 ($S_3$ および $D_8$): $2\text{Rep}(S_3), 2\text{Rep}(D_8)$, および 2-group 対称性 $Z_4^{(1)} \rtimes Z_2^{(0)}$ を含む対称性のための、網羅的な相転移のリスト。
• 表: 得られたCFT、相の性質（gSPT, gSSB, igSPT, igSSB）、および決定的な部分群のデータを要約した包括的な表（表1, 2, 3, 4, 5）が含まれています。

結果

• 著者らは、任意の有限群 $G$ に対して、SymTFTの枠組みが、ギャップのある相間の無限の数の相転移を構築し、豊かなギャップレス臨界点の景観をもたらすことを実証しています。
• 彼らは、$D_8$ 対称性のための igSPT および $S_3$ と $D_8$ のための igSSB を明示的に構築しています。例えば、$D_8$ のケースでは、縮退した $Z_2 \times Z_2$ 次数を持つ非自明な4-コサイクルねじれ $\pi$ を伴う特定の界面は、特定の $\pi$ が選ばれた場合には、いかなるギャップ形成も $D_8$ 対称性を $\pi$ が解消される部分群へと破ることを要求するため、本質的にギャップレスな相を生じさせます。
• 本論文は、KT変換後の物理的な境界における対称性カテゴリの構造を明らかにしており、それらはしばしば単純な融合カテゴリではなく、マルチフュージョンカテゴリを形成することを示しています。
• 物理的な「クラブサンドイッチ」構成と、ドリンフェルト中心における（代数的）界面（étale algebra）の数学的分類との関係が確立され、この構成の背後にある物理的直感が検証されました。

意義と主張

本論文は、(2+1)次元におけるカテゴリカル対称性を伴う二次相転移を研究するための最初の体系的な枠組みを提供すると主張しています。その意義は以下の通りです：

1. ギャップの架け橋： 非可逆対称性を伴うギャップのある相と、複雑なギャップレス臨界点の景観とを結びつけます。
2. 予測能力： 界面の分類と既知の転移（Ising CFTなど）の入力を利用することで、特定の格子モデルをゼロから解くことなく、膨大な数の新しい臨界理論とその対称性を予測します。
3. 新しい相の状態： 非可逆対称性によって保護される、異なるユニバーサリティクラスとしての本質的にギャップレスな相（igSPTおよびigSSB）を特定・特徴付けました。これらは、対称性を破ることなしには、いかなるギャップのある相とも断熱的に接続することができません。
4. 格子実現可能性： 著者らは、SymTFTの界面が群論的なデータによって記述されているため、得られるギャップレス相は将来の格子モデル構築にとって扱いやすいものであると述べています。これは、ギャップのある相のハミルトニアンを提供した[44]の研究を拡張するものです。

本論文は、形式は包括的であるが、問題の本質的な複雑さ（無限の数の界面）ゆえに、分類は原理的には網羅的であるが、具体的な例を生成するには特定の入力転移を必要とする、と結論付けています。本研究は、これらの新しく予測されたギャップレス相の格子実現および数値的研究への今後の調査への舞台を整えるものです。