Nonequilibrium steady state in Lindblad dynamics for infinite quantum spin systems

技術要約：無限量子スピン系におけるリンドブラッド動力学の非平衡定常状態

問題提起
本論文は、無限格子上に定義された開放型量子スピン系における非平衡定常状態（NESS）および時間平均非平衡定常状態（TANESS）の厳密な数学的定式化を扱う。NESS相は物理学的に極めて関心の高い対象であるが、無限系におけるその演算子代数的な定義は、平衡状態と比較して未発達である。中心となる困難は、二つの基本的な極限、すなわち熱力学的極限（システムサイズ $\Lambda \to \Gamma$）と長時間極限（$t \to \infty$ または時間平均）の非可換性に起因する。有限系において、NESSは通常、リウビリアン生成子の核（kernel）として定義される。しかし、無限格子上では、リウビリアンは非有界演算子となるため、その核の定義は曖昧になる。さらに、無限系のNESSが、有限部分系のNESSの熱力学的極限と一致するかどうかは一般に不明である。

手法
著者らは、可算格子 $\Gamma$ 上の量子スピン系を記述するために、$C^*$ 代数フレームワークを用いている。

1. 動力学（Dynamics）： 準局所代数 $\mathcal{A}$ 上で作用する生成子 $\mathcal{L}$ によって定義されるリンドブラッド動力学を利用する。これらの動力学における熱力学的極限の存在は、特定の局所性の仮定（仮定2）の下でのリーブ・ロビンソン境界（Lieb-Robinson bounds）によって保証される。
2. 定義：
   • NESS ($\omega_{ss}$): 進化した状態のネット $(\omega \circ \gamma^\Gamma_t)_{t>0}$ の弱-$*$ クラスター点として定義される。
   • TANESS ($\omega_{ss}^{ave}$): 時間平均された状態 $(\frac{1}{T}\int_0^T \omega \circ \gamma^\Gamma_t dt)_{T>0}$ の弱-$*$ クラスター点として定義される。
3. スペクトル解析： 解析の中核は、有限部分系 $\Lambda$ 上のリウビリアン $\mathcal{L}_\Lambda$ のスペクトル特性を研究することである。著者らは、三種類のスペクトルギャップを導入している：
   • $\Delta_\Lambda$: 「ラインギャップ（line gap）」。非ゼロのスペクトルと虚軸との距離を測る。
   • $\Delta^p_\Lambda$: 「ポイントギャップ（point gap）」。非ゼロのスペクトルと原点との距離を測る。
   • $\Delta^{ex}_\Lambda$: 「エクセプショナルギャップ（exceptional gap）」。非半単純な固有値と虚軸との距離を測る。
4. 条件数（Condition Number）： 手法の重要な構成要素として、条件数 $\kappa_{\Lambda'}(V^\epsilon_\Lambda)$ を導入している。これは、正規化されたリウビリアンをそのジョルダン標準形へと変換する線形写像 $V^\epsilon_\Lambda$ の安定性を測ることにより、リウビリアンの非正規性（departure from normality）を定量化するものである。

主要な貢献および結果

1. 可換性のための十分条件：
   主要な理論的貢献は、熱力学的極限と長時間極限（または時間平均）が可換となるための十分条件を確立したことである。

   • 定理 8 (NESS): 有限部分系のリウビリアンが、一様なラインギャップ（$\Delta_\Lambda \ge \Delta > 0$）および一様なエクセプショナルギャップ（$\Delta^{ex}_\Lambda \ge \Delta^{ex} > 0$）を持ち、かつ条件数 $\kappa_{\Lambda'}$ が一様に上から有界であるならば、無限系のNESSは一意であり、有限系NESSの熱力学的極限と等しい。
   • 定理 10 (TANESS): 同様に、一様なポイントギャップ（$\Delta^p_\Lambda \ge \Delta^p > 0$）および一様なエクセプショナルギャップが存在し、かつ条件数が一様に有界であれば、TANESSは一意であり、熱力学的極限と可換である。

2. 条件数の役割：
   本論文は、スペクトルギャップだけでは極限の可換性を保証するには不十分であることを示している。条件数は、必要な制約として示されている。

   • 反例（セクション 5）： 著者らは、特定の散逸結合を持つスピン鎖からなる具体的なモデルを構築している。このモデルでは、スペクトルギャップ（$\Delta_\Lambda, \Delta^{ex}_\Lambda$）はすべての有限部分系に対して一様にゼロから離れた状態を保っている。しかし、システムサイズの増加に伴って条件数が発散する。このモデルでは、無限限を先に取る極限と、有限系NESSの極限は一致しない。これは、非正規性（条件数によって捉えられる）が、スペクトルギャップが安定性を示唆している場合であっても、熱力学的極限における定常状態を不安定化させ得ることを浮き彫りにしている。

3. オンサイト・リウビリアンへの適用：
   著者らは、対角化可能なオンサイト・リウビリアン（生成子が単一サイト項の和であるもの）に対して、条件数が自動的に一様に有界となることを証明している（定理 14）。したがって、このような系において、極限の可換性はスペクトルギャップの存在のみに依存する（系 corollary 18）。

意義
本論文は、無限開放型量子系に対する NESS および TANESS の厳密な演算子代数的定義を提供し、有限系の数値的・解析的手法と、無限系の理論物理学との間の溝を埋めるものである。

• 「NESSの熱力学的極限」は、必ずしも「熱力学的極限のNESS」と等価ではないことを明確にしている。
• 条件数を、従来のスペクトルギャップと並んで、定常状態の熱力学的極限における安定性を支配する中心的な物理量として特定した。これは、リウビリアンがしばしば非正規となる非エルミート物理や開放型量子系において特に重要である。
• 本研究は、NESSにおける物質相の特性化のための枠組みを確立しており、将来の研究（引用 [46]）において、この形式化内での自発的対称性の破れが調査される予定である。

著者らは、新しい実験セットアップや広範な物理的応用を提案することではなく、特定のスペクトルおよび安定性条件の下での定常状態の数学的な存在と一意性に焦点を当て、控えめな範囲を維持している。