On the convergence of the variational quantum eigensolver and quantum optimal control

技術要約：変分量子固有値ソルバー（VQE）と量子最適制御の収束

問題提起
変分量子アルゴリズム（VQA）、特に変分量子固有値ソルバー（VQE）は、古典的な最適化ルーチンが（ハミルトニアンの基底状態である）大域的最適解に収束するのか、それとも劣最適な局所解に陥ってしまうのかを判断するという根本的な課題に直面している。数値的な証拠は、過剰パラメータ化（overparameterization）が収束を改善することを示唆しているが、パラメータ化された量子回路がいつ大域的最適解への収束を保証するかを特徴付ける厳密な基準は依然として不明である。非凸な最適化ランドスケープと、回路のアンサンブル（ansatz）および問題インスタンスとの複雑な相互作用により、特に問題の次元に対してパラメータ数が少ない場合に、「悪い」局所的最適解が生じることが多い。

手法
著者らは、量子制御ランドスケープの用語と数学的枠組みを活用することで、VQEの収束理論を展開している。核心となるアプローチは、VQEのアンサンブルとして用いられるパラメータ化されたユニタリ変換 $U(\theta)$ の幾何学的性質を分析することである。

1. 微分幾何学的視点： コスト関数 $J(\theta) = \langle \psi_0 | U^\dagger(\theta) H U(\theta) | \psi_0 \rangle$ は、パラメータ化写像とユニタリ群上に定義されたコスト関数の合成として捉えられる。パラメータ $\theta$ に関するコスト関数の勾配は、ユニタリ群上のリーマン勾配と、接ベクトル $\Omega_j(\theta) = U^\dagger(\theta) \partial_{\theta_j} U(\theta)$ との間のヒルベルト・シュミット内積を通じて表現される。
2. 局所全射性（Local Surjectivity）： 著者らは、局所全射性（定義1）という概念を導入している。パラメータ化が局所的に全射であるとは、すべての $\theta$ において、リー環の要素の集合 $\{\Omega_j(\theta)\}$ が特殊ユニタリ群 $SU(d)$（または関連するリー群のリー環 $\mathfrak{g}$）の完全な接空間を生成することを意味する。この条件は、制御能力の欠如によって勾配が消失してしまう現象（ロボティクスにおける「ジンバルロック」に類似したもの）が発生しないことを保証する。これは、最適化ランドスケープに「欠落した方向」が存在しないことを確実にするものである。
3. 臨界点解析： 局所全射性と有界なリー環の要素という仮定の下で、著者らは、コスト関数の臨界点が、大域的最適点（基底状態）または厳密なサドル点（strict saddle points）のみに対応することを証明している。彼らは非線形安定理論の結果を利用し、勾配がリプシッツ連続である場合、勾配降下法は（ルベーグ測度に関して）ほとんど確実に厳密なサドル点を回避することを論じている。
4. アンサンブルの構成： 著者らは一般的なアンサンブル・ファミリー（$SU(d)$-ゲートおよび指数関数の積）を分析し、それらが過剰パラメータ化されていても、本質的に局所全射性が崩れる特異点を持つことを示している。これに対処するため、以下の新しいパラメータ化を構築した：
   • 複合アンサンブル（Composite Ansatz）： 全域的な到達可能性と局所全射性を確保するために、全射写像と、限定された領域における局所全射写像の積を用いる。
   • ケイリー変換（Cayley Transform）： $d^2$ 個のパラメータを持つ、局所全射であることが示されているケイリー変換を用いたパラメータ化。

主な貢献と結果

• 定理1（$SU(d)$ 上の収束）： VQEアンサンブル $U(\theta)$ が局所全射性を満たし、かつリー環の要素が一様に有界である場合、ステップサイズが十分に小さく、初期パラメータがほとんどの場合において、勾配降下アルゴリズムは無限大に発散するか、あるいはハミルトニアンの基底状態に収束することを確立した。決定的なのは、アルゴリズムが劣最適な局所解に収束することはほとんどないということである。
• 定理2（部分群上の収束）： 収束の保証は、閉じたリー部分群 $G \subset SU(d)$ 上の最適化へと拡張される。アンサンブルが局所的に $\mathfrak{g}$-全射であり、かつハミルトニアン（または初期状態の射影）が適切な代数的構造内に存在する場合、アルゴリズムは当該の部分群における大域的最適解に収束する。
• 定理3（表現論による到達可能性）： 準最小ウェイト表現（quasi-minuscule representations）の理論を用いて、特定の初期状態（ウェイトベクトル）から部分群 $G$ を用いて基底状態が到達可能であることが保証されるための十分条件を提示している。
• 自由フェルミオンへの適用： この理論を自由フェルミオン・ハミルトニアンに適用し、初期状態が表現のウェイトベクトルである場合、局所的に $so(2n)$-全射なパラメータ化を用いるVQEは、ほとんどの初期点において基底状態に収束することを示した。
• 一般的なアンサンブルの分析： 本論文は、$SU(d)$-ゲートや指数関数の積といった標準的なアンサンブルは、（過剰パラメータ化されていても）常に局所全射性が崩れる特異点を含むことを証明している。具体的には、$SU(d)$-ゲート・アンサンブルについては、過剰パラメータ化によっても特異点は除去できない。
• 堅牢なアンサンブルの構築： 著者らは、複合アンサンブル（式15）およびケイリー変換（式24）を、局所全射性を満たす具体的な構成案として提案しており、これにより、特異な制御に起因する劣最適な局所解への陥りやすさを理論的に排除している。

意義と主張
本論文は、VQAに対する厳密な解の保証を確立するための「第一歩」を提供していると主張している。その主要な意義は、過剰パラメータ化に関する経験的な観察から、最適化ランドスケープにおける劣最適な局所解の不在を保証する幾何学的条件である「局所全射性」へと焦点を移したことにある。

著者らは、局所全射性を満たすことは劣最適な局所解の存在を防ぐが、勾配降下アルゴリズムが停止すること（すなわち、無限遠へ逃げ出さないこと）を保証するものではないことを強調している（アルゴリズムは無限遠へ発散する可能性がある）。彼らは、停止性と大域的最適解への収束を同時に保証することは非自明な問題であり、特定のVQEインスタンスにおける停止問題に関連している可能性があることを認めている。したがって、本論文は収束問題全体を解決したと主張しているのではなく、アルゴリズムが収束すると仮定した場合に、解の「質」（劣最適な局所解を回避すること）が保証される十分な基準（局所全射性）を提供しているのである。また、本研究は一般的な回路アーキテクチャの限界を浮き彫りにし、これらの落とし穴を回避するための具体的かつ数学的に厳密な代替案を提示している。